Umgebung (Mathematik)
Umgebung ist ein Begriff der Mathematik, der in der Topologie allgemein definiert wird und auch in weiteren Teilgebieten wie der Analysis verwendet wird.
Table of contents |
2 Beipiele 3 Rekonstruktion der Topologie 4 Bei metrischen Räumen |
Definition
Sei (X, T) ein topologischer Raum und ein Punkt des Raumes.
Eine offene Umgebung U von p ist eine offene Teilmenge, die p enthält.
Eine Umgebung von p ist eine Teilmenge, die eine offene Umgebung von p als Teilmenge besitzt.
Umgebungsfilter
Die Menge aller Umgebungen eines Punktes p bildet einen Filter, der Umgebungsfilter von p heißt.
Der Umgebungsfilter ist eine Teilmenge der Potenzmenge von X.
Eine Teilmenge von M ist genau dann eine Umgebung des Punktes x, wenn sie eine ε-Umgebung von x enthält. Die so definierten Umgebungen erfüllen die oben aufgeführten Axiome 1 bis 4 und bestimmen damit auf der Menge M eindeutig eine Topologie: die durch die Metrik induzierte Topologie. Verschiedene Metriken können die selbe Topologie induzieren.Umgebungsbasis
Ein Menge von Umgebungen eines Punktes x heißt eine Umgebungsbasis von x, wenn jede Umgebung ein Element von als Teilmenge hat.Erstes Abzählbarkeitsaxiom
Man definiert:
Beipiele
Rekonstruktion der Topologie
Man kann in einem topologischen Raum die offenen Mengen rekonstruieren, wenn man zu jedem Punkt alle Umgebungen kennt:
Bei metrischen Räumen
In einem Metrischen Raum (M, d) sind Raumeigenschaften der Menge M bereits durch die Metrik d festgelegt. Man zieht die topologischen Eigenschaften aus der Metrik heraus, indem man Umgebungen herleitet, wobei man zunächst für jeden Punkt der Menge die so genannten ε-Umgebungen definiert: