Trägheitstensor
Der Trägheitstensor eines Körpers gibt seine Trägheitsmomente, also die Trägheit des Körpers bezüglich Drehungen an. Er spielt damit für Drehungen die Rolle, die die träge Masse für lineare Bewegung spielt.Da unsymmetrische Körper für Drehungen in verschiededene Richtungen verschiedene Trägheitsmomente aufweisen (beispielsweise läßt sich die Drehung eines homogenen zigarrenförmigen Körpers leichter um seine Längsachse als um seine Querachse ändern), reicht – anders als bei der trägen Masse – für die Beschreibung des Trägheitsmoments eine einzelne Zahl nicht aus, sondern es muss ein Tensor verwendet werden.
Ist eine Gesamtmasse gegeben durch einzelne Massenpunkte, so ist der Trägheitstensor gegeben durch:
Berechnung des Trägheitstensors
bzw. in Komponentenschreibweise
Hierbei bezeichnen die Masse des Massenpunkts , , und die Ortskoordinaten des jeweiligen Massenpunkts und seinen Abstand vom Ursprung. Die Indizes und nehmen die Werte 1 bis 3 an, entsprechend den drei Raumdimensionen.ist das Kroneckersymbol:
Ist die Masse kontinuierlich im Körper verteilt und die Massendichte bekannt, so geht man zur Integration über:
Das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Ursprung (also anschaulich die Schwierigkeit, den Körper um diese Achse zu drehen) bekommt man aus dem Trägheitstensor folgendermaßen:
Ist ein Einheitsvektor (Vektor der Länge 1) in Richtung der Achse (also einer, der an der Achse entlang zeigt), so ist das zugehörige Trägheitsmoment
Beispiel: Der Trägheitstensor sei
Für eine beliebige Winkelgeschwindigkeit lässt sich der Drehimpuls durch Matrizenmultiplikation des Trägheitstensors mit dem Spaltenvektor der Winkelgeschwindigkeit berechnen:
Der Trägheitstensors hat die Dimension eines Trägheitsmoments, kg·m².
Der Trägheitstensor ist ein symmetrischer Tensor, also
Wählt man als Koordinatenachsen die Achse des größten und die des kleinsten Trägheitsmoments, sowie die auf beiden senkrecht stehende Achse, so ist der Trägheitstensor in diesen Koordinaten diagonal (sind alle Trägheitsmomente gleich, so können drei beliebige aufeinander senkrecht stehende Achsen gewählt werden). Diese drei Achsen nennt man Hauptträgheitsachsen, und die zugehörigen Trägheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente. Die Drehimpulse bei Rotation um diese Achsen können dann durch einfache Multiplikation des jeweiligen skalaren Trägheitsmoment mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor berechnet werden.
Die freie Rotation ist für allgemeine Körper nur um ihre Hauptträgheitsachsen stabil. Dreht sich der Körper um eine andere Achse, so verläuft der Drehimpuls nicht in Richtung der Drehachse, daher dreht sich auch diese, und zwar um die Richung des Drehimpulses (Präzession).
Wirkt außerdem ein äußeres Drehmoment, so wird die Bewegung komplizierter. Man kann dies z. B. an einem Spielzeugkreisel beobachten: Zusätzlich zur einer – hier durch das äußere Drehmoment induzierten – Präzession um eine senkrechte Achse kann man durch einen kleinen Stoß eine überlagerte Nutationsbewegung erzeugen; während die Rotationsachse am Präzessionskegel entlangwandert, führt sie eine zusätzliche kleinere Rotationsbewegung aus.Berechnung von Trägheitsmomenten aus dem Trägheitstensor
wobei die Komponenten des Einheitsvektors sind. Insbesondere geben die Diagonalelemente , und die Trägheitsmomente um die Koordinatenachsen an.
und die Richtung der Achse sei gegeben durch den Normalenvektor
(das ist gerade eine der Raumdiagonalen). Dann ist das Trägheitsmoment gegeben durch
Berechnung des Drehimpuls aus dem Trägheitstensor
Eigenschaften des Trägheitstensors
Hauptträgheitsachsen und Hauptträgheitsmomente