Torus
Ein Torus ist ein Körper, der die Form eines Schwimmreifens besitzt.
Table of contents |
2 Toruskoordinaten 3 Volumen und Oberfläche 4 Torus mit zunehmendem Ringdurchmesser 5 Höherdimensionale Tori |
Im Gegensatz zur Oberfläche einer Kugel kann die Oberfläche des Torus ohne Singularitäten auf einer ebenen, rechteckigen Fläche abgebildet werden.
Dabei wird die rechte Kante des Rechtecks oder Quadrates mit seiner linken Kante verheftet, und seine untere Kante wird mit seiner oberen Kante verheftet. Diese Topologie besitzen auch viele Computerspiele.
In den Bild-Beschreibungen der beiden kleinen Bilder, und auch in , wird genau erklärt, was sie bedeuten.
Man kann in der Torusoberfläche, die topologisch eine Fläche von Geschlecht 1 ist (d.h. sie besitzt 1 Loch), eine toroidale Koordinate t und eine dazu senkrechte poloidale Koordinate p einführen. Man kann sich die Oberfläche durch einen Kreis entstanden vorstellen, der um eine Achse, die in der Kreisebene liegt, rotiert wird. Den Radius des ursprünglichen Kreises nennen wir r, dieser Kreis bildet auch gleichzeitig eine Koordinatenlinie von p. Den Abstand des Kreismittelpunkts von der Achse wird hier R genannt, die Koordinatenlinien von t sind Kreise um die Drehachse. Beide Koordinaten sind Winkel und laufen von 0 bis 2π.
Eine mögliche Umrechnung in kartesiche (dreidimensionale) Koordinaten ist ( ist hier der Ortsvektor)
Die nach außen zeigende Flächennormale ist in kartesischen Koordinaten
Das Flächenelement ist
Durch Integration erhält man die Oberfläche des Torus:
Zur Berechnung des Volumens setzen wir statt r die Varaiable r' ein und lassen sie von 0 (zu Kreis entarteter Torus, kein Volumen) bis r variieren:
Da der Torus ein Rotationskörper ist, kann man Volumen und Oberfläche auch ohne Integration mittels der Guldinschenschen Regel berechnen.
Ein Torus mit stetig zunehmendem Ringdurchmesser. So könnte es aussehen, wenn sich eine Schlange selbst frisst. Eine unendlich dünnwandige, kegelförmige Schlange könnte ihren Schwanz unendlich oft verschlucken, aber sie könnte ihr Maul niemals erreichen.
Beim 3-dimensionalen Torus oder 3-Torus handelt es sich um einen Quader oder Würfel, dessen 6 gegenüberliegende Flächen paarweise miteinander verheftet sind.
Beim 4-dimensionalen Torus oder 4-Torus handelt es sich um einen Tesserakt dessen 8 gegenüber liegenden Würfel paarweise mit einander verheftet sind.
Das (n+1) - dimensionale "Volumen" eines n-Torus ist
,
die n - dimensionale "Oberfläche"
.
siehe auch: RotationskörperTorustopologie
Toruskoordinaten
Volumen und Oberfläche
Torus mit zunehmendem Ringdurchmesser
Höherdimensionale Tori