Students t-Verteilung
Students t-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und wurde 1908 von William Sealey Gosset (Pseudonym Student) entwickelt. Er hatte festgestellt, dass standardisierte normalverteilte Daten nicht mehr normalverteilt sind, wenn die Varianz des Merkmals unbekannt ist und mit der Stichprobenvarianz geschätzt werden muss. Man könnte also die t-Verteilung gewissermaßen als "Designerverteilung" bezeichnen.
Table of contents |
2 Parameter 3 Skizze 4 Nichtzentrale t-Verteilung 5 Näherung durch die Normalverteilung |
Die t-Verteilung beschreibt die Verteilung eines Ausdruckes
Definition
wobei N(0,1) eine standardnormalverteilte Zufallsvariable bedeutet und eine χ²-verteilte mit m Freiheitsgraden. Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist symmetrisch bezüglich ihres Erwartungswertes. Die Werte der Verteilungsfunktion können nicht analytisch berechnet werden und liegen in der Regel tabelliert vor.
Beispielsweise ist die Prüfgröße für den statistischen Test H0: μ = μ0 des Erwartungswertes einer normalverteilten Zufallsvariablen mit unbekannter Varianz
Median | |
Modus | |
Erwartungswert: |
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Varianz: |
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Schiefe: |
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Wölbung: |
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Eine Skizze der t-Verteilung erhalten Sie in GNU R mit dem verschachtelten Befehl
hist(sort(rt(1000,m)),breaks=seq(-100,100,.01))
Beachten Sie, dass
Ist der Zähler der t-verteilten Zufallsvariablen normalverteilt mit einem Erwartungswert μ ≠ 0, handelt es sich um eine so genannte nichtzentrale t-Verteilung mit dem Nichtzentralitätsparameter μ. Diese Verteilung wird vor allem zur Bestimmung des β-Fehlers bei Hypothesentests mit t-verteilter Prüfgröße verwendet.
Ab dreißig Freiheitsgraden kann anstelle der t-Verteilung näherungsweise die Standardnormalverteilung verwendet werden.Skizze
Nichtzentrale t-Verteilung
Näherung durch die Normalverteilung