Stetig behebbare Definitionslücke
Die stetig behebbare Definitionslücke tritt allgemein bei Funktionen der Mathematik auf, die aus der Division einer Funktion durch eine Zweite entstehen.Formal geschrieben sei
- eine Nullstelle, wenn und ;
- eine Polstelle oder auch Unendlichkeitsstelle, wenn und ;
- eine Definitionslücke, wenn .
Beachte, dass f an den Stellen, wo der Nenner gleich 0 ist, nicht definiert ist, also weder unstetig noch stetig ist! (Es ist also z.B. f(x) = 1/x in seinem gesamten Definitionsbereich R\\{0} stetig, hat aber in der 0 eine Definitionslücke.) Unter bestimmten, unten beschriebenen Bedingungen kann man f jedoch stetig fortsetzen.
Table of contents |
2 Differenzierbare Funktionen (Regel von l'Hospital) 3 Allgemeine Funktionen |
Rationale Funktionen der Mathematik haben die Form
Da u(x) und v(x) Polynome sind, ist ihr Verhalten an ihren Nullstellen aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra bekannt:
die Nullstellen der Zähler- und Nennerfunktionen lassen sich ausfaktorisieren.
Wenn also u(x) und v(x) an der Stelle xo eine Nullstelle haben, so ist immer
Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren der Nullstellen kürzen.
Die Funktion
Wenn sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion an der gemeinsamen Nullstelle differenzierbar sind, gilt die folgende Regel von L'Hospital:
Die Funktion
Spezialfall rationaler Funktionen
so muss das sein
wobei u(x) und v(x) Polynomfunktionen sind.
und
wobei
Die Terme und bezeichent man auch als die Ordnung der jeweiligen Nullstelle.Beispiel
hat für x = -1 eine Lücke, die sich durch Kürzen mit dem Wert -1/2 beheben lässt.Differenzierbare Funktionen (Regel von l'Hospital)
Beispiel
ist für x = 0 nicht definiert.
Anwendung der l'Hospital-Formel (Differenzierung des Sinus ergibt den Cosinus) ergibt
Die Lücke kann durch den Wert 1 behoben werden.