Steigung
Die Steigung bezeichnet das Verhältnis von Höhengewinn (der möglicherweise negativ ist) zu Seitengewinn. Ein negativer Höhengewinn wird auch als Gefälle bezeichnet.
Im vorangehenden Bild etwa beträgt der Höhengewinn 2 und der Seitengewinn 4. Die Steigung ist daher 2/4 = 0,5 = 50%. Der auftretende Winkel ist dabei arctan(0,5) = 0.4636 rad = 26.6 Grad und wird Steigungswinkel genannt.
Bei einer Steigung von 6 % einer Straße bedeutet das, dass pro gefahrenem Kilometer eine Höhendifferenz von etwa 60 Metern überwunden wird. ("Etwa" deshalb, weil die gefahrene Strecke etwas größer als der Seitengewinn ist.)
Bei einer Geraden mit der Funktionsgleichung f(x)=mx+b ist m die Steigung, da sich bei einer Änderung von x um 1 der Funktionswert f(x) um m ändert.
= Berechnung einer Steigung in einer mathematischen Funktion =
Table of contents |
2 Mittlere Steigung eines bestimmten Intervalls |
(bei Fragen zur Rechnung siehe: Mitternachtsformel)
(bei Fragen zur Rechnung siehe: Differentialrechnung: Ableitung)
Setze x in f'(x)">
Setze x2 in f'(x)">
Antwort: Es gibt 2 Punkte an denen y = 4 ist. P1(-sqrt(3)|4) und P2(+sqrt(3)|4). An diesen Punkten ist die Steigung rund -3,46 (P1) bzw. 3,46 (P2).
Steigung bei einem bestimmten Punkt
Universell
Beispiel
Anmerkungen vorweg:
gegeben: f(x) = x² + 1
gesucht: Steigung bei y = 4Setze y = 4 in f(x)
f(x) = x² + 1
4 = x² + 1 | - 4
0 = x² - 3Ableitung der Funktion
f(x) = x² + 1
f(x) = x² + 1x0
f'(x) = 2x1 + 0*1x-1
f'(x) = 2x + 0
f'(x) = 2xSetze x in f'(x)
Setze x1 in f'(x)">Setze x1 in f'(x)
f'(x) = 2x
f'(sqrt(3)) = 2 * sqrt(3)
f'(sqrt(3)) ist rund 3,46Setze x2 in f'(x)
f'(x) = 2x
f'(-sqrt(3)) = 2 * (-sqrt(3))
f'(sqrt(3)) ist rund -3,46Mittlere Steigung eines bestimmten Intervalls
Universell
- a ist der kleinste x-Wert des Intervalls
- b ist der größste x-Wert des Intervalls
- ms ist die mittlere Steigung im Intervall