Spezielle orthogonale Gruppe
Die spezielle orthogonale Gruppe SO(n,F) ist die Gruppe aller n×n-Matrizen mit Koeffizienten aus einem Körper F, deren Determinante 1 ist. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper F die Menge R der reellen Zahlen ist, schreibt man auch SO(n).Die spezielle orthogonale Gruppe SO(n,F) ist Untergruppe der orthogonalen Gruppe O(n,F) (orthogonale Gruppen haben Determinanten -1 oder 1), der speziellen linearen Gruppe SL(n,F) (spezielle lineare Gruppen haben Determinanten 1) und der allgemeinen linearen Gruppe GL(n,F). Wenn F die Charakteristik 2 hat, fallen SO(n,F) und O(n,F) zusammen.
Die spezielle orthogonale Gruppe SO(n,R) über dem Körper R der reellen Zahlen bildet eine reelle kompakte zusammenhängende Lie-Gruppe der Dimension n(n-1)/2.
Die Elemente der SO(n,R) beschreiben Drehungen im n-dimensionalen Euklidischen Raum.
SO(2,R) ist isomorph zum Einheitskreis S1 in der Ebene der kompexen Zahlen mit der komplexen Multiplikation als Verknüpfung.
Die Gruppe SO(3) ist lokal, aber nicht global isomorph zur speziellen unitären Gruppe SU(2), ablesbar an isomorphen Lie-Algebren. Zu den verschiedenen Parametrisierungen der SO(3) siehe Karten der SO(3), Eulersche Winkel.
Die Lie-Algebra der SO(n,R) besteht aus schiefsymmetrischen reellen Matrizen.
Reelle spezielle orthogonale Gruppen