Sophie-Germain-Primzahl
Definition
Eine Primzahl p nennt man Sophie Germain Primzahl oder auch Germain'sche Primzahl wenn auch 2p+1 eine Primzahl ist.
2 | 3 | 5 | 11 | 23 | 29 | 41 | 53 | 83 | 89 | 113 | 131 |
173 | 179 | 191 | 233 | 239 | 251 | 281 | 293 | 359 | 419 | 431 | 443 |
491 | 509 | 593 | 641 | 653 | 659 | 683 | 719 | 743 | 761 | 809 | 911 |
953 | 1013 | 1019 | 1031 | 1049 | 1103 | 1223 | 1229 | 1289 | 1409 | 1439 | 1451 |
1481 | 1499 | 1511 | 1559 | 1583 | 1601 | 1733 | 1811 | 1889 | 1901 | 1931 | 1973 |
2003 | 2039 | 2063 | 2069 | 2129 | 2141 | 2273 | 2339 | 2351 | 2393 | 2399 | 2459 |
2543 | 2549 | 2693 | 2699 | 2741 | 2753 | 2819 | 2903 | 2939 | 2963 | 2969 | 3023 |
3299 | 3329 | 3359 | 3389 | 3413 | 3449 | 3491 | 3539 | 3593 | 3623 | 3761 | 3779 |
3803 | 3821 | 3851 | 3863 | 3911 | 4019 | 4073 | 4211 | 4271 | 4349 | 4373 | 4391 |
4409 | 4481 | 4733 | 4793 | 4871 | 4919 | 4943 | 5003 | 5039 | 5051 | 5081 | 5171 |
5231 | 5279 | 5303 | 5333 | 5399 | 5441 | 5501 | 5639 | 5711 | 5741 | 5849 | 5903 |
6053 | 6101 | 6113 | 6131 | 6173 | 6263 | 6269 | 6323 | 6329 | 6449 | 6491 | 6521 |
6551 | 6563 | 6581 | 6761 | 6899 | 6983 | 7043 | 7079 | 7103 | 7121 | 7151 | 7193 |
7211 | 7349 | 7433 | 7541 | 7643 | 7649 | 7691 | 7823 | 7841 | 7883 | 7901 | 8069 |
8093 | 8111 | 8243 | 8273 | 8513 | 8663 | 8693 | 8741 | 8951 | 8969 | 9029 | 9059 |
9221 | 9293 | 9371 | 9419 | 9473 | 9479 | 9539 | 9629 | 9689 | 9791 |
Die größten bekannten Beispiele sind
- 92.305 · 216.998 + 1, eine Zahl mit 5117 Stellen, die 1998 von Hoffmann gefunden wurde
- 109.433.307 · 266.452 - 1, eine Zahl mit 20.013 Stellen, welche 2001 von Underbakke (und anderen) gefunden wurde.
Bedeutung
Namensgebung
Der Name dieser Primzahlen geht auf die Mathematikerin Sophie Germain zurück. Diese beschäftigte sich mit der Fermat'schen Vermutung und bewies ca. 1823, dass diese Vermutung für alle Sophie Germain Primzahlen zutrifft.
Beweis:
Sei p eine Primzahl mit Endziffer 7. Dann kann man p darstellen als p = 10k + 7. Dann gilt: 2p + 1 = 20k + 14 + 1 = 20k + 15 = 5 (4k + 3). Das bedeutet, 2p + 1 ist durch 5 teilbar und daher nicht prim.
Multipliziert man eine Sophie-Germain-Primzahl p mit der Primzahl 2p+1, die zeigt, dass p eine Sophie-Germain-Primzahl ist, so erhält man als Produkt eine Dreieckszahl:
Eigenschaften
Eine Sophie-Germain-Primzahl kann niemals die Endziffer 7 haben.Zusammenhang mit den Mersenne-Zahlen
Die folgende Eigenschaft wurde von Euler und Lagrange bewiesen:
- Ist p > 3 und p = 3 (mod 4) und p eine Sophie Germain Primzahl, dann ist 2p+1 ein Teiler der p-ten Mersenne-Zahl M(p).
Häufigkeit von Sophie Germain Primzahlen
1922 veröffentlichten Hardy und Littlewood ihre Vermutung bzgl. der Häufigkeit von Sophie Germain Primzahlen:
- Die Anzahl aller Sophie Germain Primzahlen unterhalb einer Grenze x beträgt ungefähr
- mit C = 0,6601618158.
- Diese Formel kann man mit den bekannten Sophie Germain Primzahlen recht gut bestätigen.
Cunningham-Kette
Eine Folge von Sophie-Germain-Primzahlen nennt man Cunningham-Kette der ersten Art. Ein Beispiel für eine solche Kette ist die Folge: 2, 5, 11, 23, 47 .