Satz des Thales
Der Satz des Thales ist ein Satz der Geometrie. Seine kürzeste Formulierung lautet:
- Alle Winkel im Halbkreis sind rechte Winkel.
Umgekehrt liegt der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks immer in der Mitte der Hypotenuse.
Der Satz war in empirischer Form schon den Ägyptern und Babyloniern bekannt. Der erste Beweis wird dem griechischen Mathematiker und Philosophen Thales von Milet zugeschrieben. Der Thaleskreis ist ein Spezialfall des Umfangswinkelsatzes.
Zum Beweis werden zwei ebenfalls von Thales bewiesene Sätze benötigt:
Sei ABC ein Dreieck in einem Kreis mit AC als Kreisdurchmesser. Dann ist der Mittelpunkt M der Strecke AC auch Kreismittelpunkt. Die Strecken AM, BM und CM sind also gleich dem Radius r.
Damit sind die Dreiecke AMB und CMB jeweils gleichschenklig. Die Winkel an der Grundseite sind daher jeweils gleich ( und in der Abbildung).
Die Summe der beiden Winkel an M ist 180°:
Der Satz des Thales ist ein Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes (Umfangswinkelsatzes).
Beweis
Die Winkelsumme in den Dreiecken AMB und CMB ist - wie in jedem ebenen Dreieck - 180°:
Addiert man diese Gleichungen und zieht die erste Gleichung ab, so erhält man:
und damit
Dies ist aber genau der gesuchte Winkel im Punkt B.Verallgemeinerung