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Runge-Kutta-Verfahren



Allgemeines

Die -stufigen Runge-Kutta-Verfahren sind Einschrittverfahren zur näherungsweisen Lösung von Anfangswert-Problemenen. Wenn vom Runge-Kutta-Verfahren gesprochen wird, ist oft das populäre klassische Runge-Kutta-Verfahren gemeint. Dieses bildet jedoch nur einen Spezialfall dieser Familie von Verfahren.

Gegeben sei ein Anfangswert-Problem

mit exakter Lösung . Die exakte Lösung kann im allgemeinen nicht angegeben werden, weshalb man sich mit einer Näherung an diskreten Stellen begnügt. Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung dieser Näherung, z.B. Einschrittverfahren oder Mehrschrittverfahren.

Die -stufigen Runge-Kutta-Verfahren sind Einschrittverfahren der Art:

Die Anzahl der Stufen gibt an, wie viele Funktionsaufrufe pro Schritt (mit Schrittweite ) benötigt werden. Im allgemeinen ist die Rekursionsformel des Runge-Kutta-Verfahrens implizit; Für ist das Verfahren explizit.

Man kann die charakteristischen Koeffizienten , , übersichtlich im sog. Runge-Kutta-Tableau (auch engl. Butcher array genannt) anordnen:

Eine wichtige Eigenschaft zum Vergleich von Verfahren ist die Konsistenzordnung, die auf dem Begriff des lokalen Diskretisierungsfehlers beruht. Ein Einschrittverfahren heißt konsistent von der Ordnung (hat Konsistenzordnung ), falls gilt:

Die Konsistenzordnung kann durch Taylorentwicklung von bestimmt werden.

Weil ein konsistentes Verfahren auch konvergent ist (globaler Diskretisierungsfehler erreicht im Grenzwert kleiner Schrittweiten Null), sind Runge-Kutta-Verfahren mit möglichst hoher Ordnung bei möglichst wenigen Funktionsauswertungen von Interesse.

Aus der Konsistenzbedingung (z.B. das Verfahren soll Ordnung 4 haben) ergeben sich Konsistenzgleichungen (engl. oder conditions) für die Koeffizienten des Runge-Kutta-Verfahrens. Die Anzahl und die Gleichungen selbst können mit Hilfe der Theorie der Butcher-Bäume ermittelt werden. Mit zunehmender Ordnung wächst die Zahl der zu lösender (i.A. nicht-linearen) Konsistenzgleichung schnell an. Das Aufstellen der Konsistenzgleichungen ist bereits nicht einfach; Das Lösen ist dann noch schwieriger.

Beispiele

Das explizite Euler-Verfahren (Ordnung 1):

Das Heun-Verfahren (Ordnung 2):

Das Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 2:

Das Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 3 (vgl. Simpsonregel):

Das Heun-Verfahren 3. Ordnung:

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (Ordnung 4):

Literatur




     
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