Regelkreis
Ein Regelkreis dient dazu, ein System zu regeln. Grundsätzlich unterscheidet man zwischen dem offenen und dem geschlossenen Regelkreis. Im Gegensatz zum offenen hat der geschlossene Regelkreis eine so genannte Rückkopplung. Daneben gibt es noch geschachtelte Regelkreise, die dann zu Kaskadenreglern führen.Bei der Rückkopplung Unterscheidet man weiterhin zwischen additiver Rückkopplung und subtraktiver. Ob also am Eingang des Reglers Sollwert + Regleraugang oder Sollwert - Reglerausgang anliegt. Üblicher ist die negative Rückkopplung.
Table of contents |
2 Einfacher geschlossener Regelkreis 3 Beispiele 4 Mathematische Beschreibung 5 Simulation |
Einfacher offener Regelkreis
+-----------+
Sollwert >---| Regler |----> Stellgröße
+-----------+
Einfacher geschlossener Regelkreis
Das Ausgangssignal wird zurückgeführt, und der Regler sieht nur noch die Differenz. +----------+
Sollwert >---[-]--| Regler |--+---->
| +----------+ |
+---------<-------+
Beispiele
aus der Technik
aus der Biologie
Mathematische Beschreibung
Regelkreise können mathematisch oder graphisch mit Hilfe der Signal- und Systemtheorie beschrieben werden. Die Theorie vermag allgemein sowohl zeitkontinuierliche als auch zeitdiskrete Systeme und Signale zu beschreiben.
Unter Signal wird die Darstellung einer physikalischen Größe in Abhängigkeit
der Zeit verstanden. Signale sind mathematisch gesehen kontinuierliche oder
diskontinuierliche Funktionen.
z. B. eine Sinusspannung
s(t) = A*sin(wt)
Unter System wird ein mathematisches Modell verstanden, das in sehr
allgemeiner Weise zur Beschreibung und zur Untersuchung technischer Prozesse
verwendet werden kann. Ein System kann daher ein Regelkreis sein. Aber auch
die Bestandteile (Regler, Regelstrecke ...) selbst sind wiederum Systeme. Es
ist charakteristisch für Systeme, daß sie Ein- und Ausgangssignale besitzt.
Dabei hängen alle Ausgangsgrößen ursächlich von den Eingangssignalen ab.
Die Eingangssignale von Systemen werden durch die Eigenschaften des Systems in
Ausgangsgrößen transformiert. Dieser Sachverhalt wird mathematisch
folgendermaßen allgemein beschrieben:
:-) Kurze Entführung in die Systemtheorie
Eingangsgröße: x(t)
Ausgangsgröße: y(t)
Transformation: T
y(t) = T{x(t)}
Die Transformation T (das Systemverhalten an sich) kann durch die sog.
Übertragungsfunktion - das System an sich - ersetzt werden
y(t) = g(t) gefaltet mit x(t)Da die Systeme und Signale mathematisch durch Differentialgleichungen im sog. Zeitbereich beschrieben werden, ist die rechentechnische Handhabung bekanntlich schwierig. Zudem erschwert die mathematische Operation der Faltung das Rechnen erheblich.
Durch einen mathematischen "Kniff" läßt sich die Handhabung von Systemen bzw. Regelkreisen unter bestimmten mathematischen Prämissen wesentlich vereinfachen. Liegen sog. LTI-Systeme (Lineare zeitinvariante kausale) vor, können für die Signale und Systeme die sog. Laplace-Transformierten gebildet werden.
Der Regelungstechniker wendet die sog. Fourier- und Laplace-Transformationen an.
Die Funktionen des Zeitbereichs werden in Funktionen des Frequenzbereichs mit
der imaginären Frequenz Omega transformiert. Symbolisch:In diesem Falle falle werden Integral- und Differentialoperatoren auf einfache Multiplikationen und Divisionen reduziert.Zeitbereich Frequenzbereich Abhängig von t Abhängig von w=2*Pi*f
x(t) o-O X(iw) p = iw: X(p) y(t) o-O Y(iw) p = iw: Y(p) g(t) o-O G(iw) p = iw: G(p)
Eingangsgröße: X(p) Ausgangsgröße: Y(p) System / Übertragungsfunktion: G(p)Grundsätzlich können Regelkreise also mit Hilfe von Funktionen in Abhängigkeit der Zeit oder von Frequenzen beschrieben werden. Ob im Zeit- oder Frequenzbereich gerechnet wird ist Geschmacksache und daher bleibt die Wahl jedem selbst überlassen.Y(p) = G(p)*X(p)
Systemtheoretisch beschreiben also sog. Übertragungsfunktion oder Transferfunktion ein System genau.
Erst durch Schließen des offenen Regelkreises kann die Regelgröße geregelt werden (closed loop).
Grundsätzlich können alle Bestandteile des Regelkreises, wie zum Beispiel Regelstrecke, Regler, Eingangs-, Stör- und Ausgangsgrößen mathematisch durch eine Übertragungsfunktion beschrieben werden. Regelkreise können dabei mehr als eine Eingangs-, Ausgangs- und Störgrößen haben.
Die Mathematik untersucht grundsätzlich kontinuierliche und diskontinuierliche (diskrete) Systeme in der Regelungstechnik.
Das A und O der analogen oder digitalen Regelungstechnik ist jedoch stets die Stabilität des (geschlossenen) Regelkreises. Die Stabilität bezieht sich dabei auf das Verhalten der zu regelnden Ausgangsgrößen in Abhängigkeit der Führungs- (Eingangsgrößen) und Störgrößen des Systems. Geschlossene Regelkreise können immer einem der folgenden Stati zugeordnet werden:
- stabil
- labil
- instabil
Daher gibt es zahlreiche mathematische Verfahren zur Untersuchung der Regelkreisstabilität mit Hilfe von Übertragungsfunktionen und bestimmten Eingangsgrößen.
Wichtige mathematische Stichworte sind unter anderen:
- Komplexe Zahl
- Funktion
- Laplace-Transformation
- Fourier-Transformation
- Leonhard Euler
- Zustandsregelung
- Systemtheorie
Simulation
Eine Vielzahl kommerzieller und freier Software erleichtert die Arbeit mit technischen Systemen und Regelkreisen auf dem Rechner. Mit Hilfe bestimmter Anwendungen lassen sich Regelkreise auf dem Computer graphisch modellieren.Darüber hinaus kann über die Ausgabe von xt-Diagrammen, Übertragunsfunktionen, Frequenzgängen, Ortskurven und Wurzelortskuven das Verhalten der technischen Systeme graphisch dargestellt werden.
Die erstellten Modelle können auf Wunsch mit geeigneter Ausstattung kompiliert und auf eine Elektronik übertragen werden.
Siehe auch: