Quanteninformation
Unter Quanteninformation versteht man die in quantenmechanischen Systemen vorhandene Information, die nicht mit den Gesetzen der klassischen Informationstheorie beschrieben werden kann.Die Theorie der Quanteninformation liefert die Grundlage für Quantencomputer und Quantenkryptographie. Außerdem besteht die Hoffnung, mit ihrer Hilfe die Quantenmechanik besser zu verstehen.
Table of contents |
2 Anwendungen der Quanteninformation 3 Über die Menge der Information |
Quantenmechanische Systeme haben einige Eigenschaften, die sie grundlegend von klassischen Systemen unterscheiden.
Grundlagen
Die Verschränkung von Zuständen ist letztlich eine Folge der Anwendung des Superpositionsprinzips auf zusammengesetzte Systeme: Wenn das System 1 im Zustand |Zustand 1a> und das System 2 im Zustand |Zustand 2a> ist, dann ist das kombinierte System im Zustand |System 1 in Zustand 1a und System 2 in Zustand 2a>, oder kurz |1a,2a>. Im Formalismus der Quantenmechanik ist dies ein Produkt der beiden Zustände (nämlich das Tensorprodukt). Analog kann das Gesamtsystem auch im Zustand |1b,2b> sein. Das Superpositionsprinzip fordert nun aber, dass das auch a|1a,2a>+b|1b,2b> ein Zustand des Systems ist. Da dieser sich (für a und b ungleich 0) jedoch nicht als Produkt schreiben lässt, kann man den Einzelsystemen keinen eigenständigen Zustand mehr zuschreiben.
Wird eine solche Observable gemessen, so wird der Wert der vorherigen Observable entsprechend unbestimmt. Eine wichtige Folge davon ist, dass wir durch Messung eines einzelnen Quantensystems unmöglich den exakten Zustand herausfinden können, in dem es sich vor der Messung befunden hat.
- Superpositionsprinzip: Sind |Zustand 1> und |Zustand 2> zwei mögliche Zustände eines quantenmechanischen Systems, und sind a und b zwei komplexe Zahlen mit |a|²+|b|²=1, so gibt es einen weiteren möglichen Zustand des Systems, der sich als
- Unitäre Zeitentwicklung: Solange nicht gemessen wird, gehen zueinander orthogonale Zustände immer in orthogonale Zustände über. Außerdem gilt das Prinzip der Wahrscheinlichkeitserhaltung: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten einer möglichen Messung muss zu jedem Zeitpunkt 1 ergeben.
- No-Cloning-Prinzip: Ein unbekannter Quantenzustand kann nicht kopiert werden. Das heißt, es gibt keine Möglichkeit, ein zweites System so zu präparieren, dass es bekanntermaßen denselben Zustand hat wie ein existierendes System in unbekanntem Zustand, ohne dass der ursprüngliche Zustand des Original-Systems zerstört wird. Das heißt, entweder hat das Originalsystem hinterher einen Zustand, der nichts mit dem Originalzustand zu tun hat, oder es befindet sich in einer Verschränkung mit einem anderen System und hat daher als Einzelsystem überhaupt keinen definierten Zustand mehr.
- Das einfachste quantenmechanische System hat genau zwei orthogonale Zustände (eine Messung kann maximal zwei unterschiedliche Ergebnisse haben). Ein solches System nennt man Qubit, und es spielt eine ähnliche Rolle in der Quanteninformation wie das Bit in der klassischen Information.
- In n Qubits lassen sich maximal n klassische Bits speichern und zuverlässig wieder extrahieren. Allerdings ist dabei nicht notwendigerweise jedes klassische Bit in genau einem Qubit gespeichert.
Anwendungen der Quanteninformation
Die besonderen Eigenschaften der Quanteninformation führen dazu, dass sie für einige Anwendungen sehr interessant ist.Die Quantenkryptographie nutzt vor allem das Komplementaritätsprinzip: Wenn der Lauscher nicht weiß, in welcher Basis ein Qubit codiert ist, ist es für ihn praktisch unmöglich, dieses auszulesen. Zudem wird durch seinen Lauschversuch die Information zerstört, so dass unbemerktes Lauschen nicht möglich ist. Zudem geben Quantensysteme gute Zufallszahlengeneratoren für die Generierung von Schlüsseln für klassische Verfahren.
In Quantencomputern werden vor allem das Superpositionsprinzip und die Verschränkung verwendet, um effizienter zu rechnen ("Quantenparallelität").
Über die Menge der Information
Klassisch wird die Informationsmenge in Bit angegeben.
In vielerlei Hinsicht äquivalent dazu ist in der Quanteninformation das Qubit. Jedoch ist die Frage, wieviel Information ein Qubit enthält, nicht letztgültig geklärt.
Während ein klassisches Bit sozusagen 'eindimensional' ist, also nur eine Ja-Nein-Alternative, ist das Qubit 'dreidimensional'. Am einfachsten ist das bei Spin-1/2-Systemen zu sehen, bei denen die Superpositionen direkt den Raumrichtungen entsprechen, in denen das Ergebnis einer Spinmessung festliegt, es gilt aber für jedes Qubit. So kann z.B ein Photon
- linkszirkular oder rechtszirkular,
- horizontal oder vertikal und
- 45° oder -45° polarisiert sein.
Um den Zustand eines Photons exakt anzugeben, reicht also ein Bit, also eine Wahl zwischen 1 und 0, nicht aus. Vielmehr müssen beide Anteile angegeben werden, was einer reellen Zahl, also unendlich vielen Bits entspricht. Um ein Photon exakt nach Vorschrift zu präparieren, ist unendlich viel klassische Information nötig. Diese Beobachtungen legen nahe, dass ein Qubit unendlich viel Information enthält.
Andererseits ist es völlig unmöglich, diese Information aus einem einzelnen Photon wieder herauszukriegen. Denn wenn in einer Richtung die Polarisation bestimmt wird, wird gleichzeitig der Zustand des Photons zerstört, so dass keine Aussage über die ursprüngliche Wahrscheinlichkeitsverteilung gemacht werden kann. Bei der Messung des Photons erhält man also immer genau ein klassisches Bit Information. Zudem gibt es für unverschränkte Qubits immer genau eine (wenngleich bei Unkenntnis des Zustands unbekannte) Observable (z.B. beim Spin-1/2-Teilchen: eine Messrichtung für den Spin), deren Ergebnis durch den Zustand vollständig festgelegt wird; für die dazu komplementären Observablen (Spin-1/2: für die dazu senkrechten Messrichtungen) ist dann das Ergebnis der Messung völlig unbestimmt, der Zustand des Qubits enthält also keinerlei Information darüber, welches Ergebnis die Messung dieser Observablem ergeben wird. Diese Beobachtungen legen nahe, dass die Information eines Qubits gerade ein klassisches Bit beträgt.
Der Begriff der Information hängt eng mit den Begriffen Entropie, Energie und Temperatur zusammen und scheint in der Physik ähnlich fundamental zu sein.