Quadratisches Reziprozitätsgesetz
Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.
Das
Quadratische Reziprozitätsgesetz gibt, zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen ein
Verfahren an, um das
Legendre-Symbol zu berechnen und damit zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest oder ein quadratischer Nichtrest ist.
Das Quadratische Reziprozitätsgesetz besagt, dass für zwei unterschiedliche Primzahlen p und q gilt:
1. Ergänzungssatz: Für eine ungerade Primzahl
p gilt:
2. Ergänzungssatz: Für eine ungerade Primzahl
p gilt:
Beispiele
- Man möchte entscheiden, ob die Gleichung
eine Lösung besitzt. Dazu berechnet man
- (das Legendre-Symbol ist multiplikativ im Zähler)
Der erste Faktor lässt sich mit Hilfe des zweiten Ergänzungssatzes zu -1 bestimmen. Um den zweiten Faktor zu berechnen, wendet man das Reziprozitätsgesetz an:
-
Hier wurde beim zweiten Gleichheitszeichen ausgenutzt, dass . Analog auch beim vorletzten Gleichheitszeichen.
Setzt man nun beide Faktoren zusammen, so ergibt sich,
-
und damit weiss man, dass die obige Gleichung eine Lösung besitzt. (Die beiden Lösungen lauten 6 und 7.)
- Man möchte entscheiden, ob die Gleichung
eine Lösung besitzt. Dazu berechnet man wieder
-
und kann wie oben die beiden Faktoren mit dem Reziprozitätsgesetz weiter vereinfachen:
-
und
-
Setzt man alles zusammen, so ergibt sich
-
und damit die Erkenntnis, dass die obige Gleichung keine Lösung besitzt.