Produkttopologie
In der Topologie kann das kartesische Produkt von topologischen Räumen auf folgende Weise zu einem topologischen Raum gemacht werden.
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2 Beispiele 3 Eigenschaften |
Sei I eine (möglicherweise unendliche) Indexmenge und sei Xi ein topologischer Raum für jedes i in I. Sei X = Π Xi das kartesische Produkt der Mengen Xi. Für jedes i in I haben wir eine kanonische Projektion pi: X -> Xi. Die Produkttopologie auf X ist definiert als die gröbste Topologie (die mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der noch alle pi stetig sind. Man nennt X mit dieser Topologie den Produktraum der Xi.
Man kann die Topologie auf X explizit beschreiben. Eine Teilmenge von X ist offen genau dann, wenn sie die Vereinigung von (möglicherweise unendlich vielen) Durchschnitten je endlich vieler Mengen der Form pi-1(O) ist, wobei i in I liegt und O eine offene Teilmenge von Xi ist. Daraus folgt, dass im allgemeinen nicht alle kartesischen Produkte offener Teilmengen offen sein müssen (ist I endlich, dann ist das jedoch immer so).
Der Produktraum X zusammen mit den kanonischen Projektionen pi wird charakterisiert durch die folgende universelle Eigenschaft: Ist Y ein topologischer Raum und für jedes i in I ist fi: Y -> Xi stetig, dann gibt es genau eine stetige Funktion f: Y -> so dass pi o f = fi für alle i in I.
Die Produkttopologie auf dem n-fachen kartesischen Produkts von R ist die gewöhnliche euklidische Topologie des Rn.
Die Cantor-Menge ist homöomorph zum Produktraum von abzählbar vielen Kopien des diskreten Raums {0,1}.
Der Raum der irrationalen Zahlen ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien der natürlichen Zahlen mit der diskreten Topologie.
Der Ring Zp der ganzen p-adischen Zahlen wird mit der Produkttopologie der diskreten Räume Z/pnZ versehen und ist dann kompakt. Diese Topologie wird auch erzeugt vom p-adischen Betrag auf Zp.
Die Produkttopologie heißt auch Topologie der punktweisen Konvergenz aufgrund der folgenden Eigenschaft: Eine Folge in X konvergiert genau dann, wenn alle Projektionen auf die Xi konvergieren. Insbesondere ist für den Raum RI aller Funktionen von I nach R die Konvergenz in der Produkttopologie gleichbedeutend mit der punktweisen Konvergenz.
Um zu prüfen, ob eine gegebene Funktion f: Y -> X stetig ist, kann man das folgende Kriterium benutzen: f ist stetig genau dann, wenn alle pi o f stetig sind. Die Überprüfung, ob eine Funktion g: X -> Z stetig ist, ist meist schwieriger; man versucht dann irgendwie die Stetigkeit der pi auszunutzen.
Ein wichtiger Satz über die Produkttopologie ist der Satz von Tychonoff: Jedes Produkt kompakter Räume ist kompakt. Dies ist leicht zu zeigen für endliche Produkte, aber die Aussage ist überraschenderweise auch wahr für unendliche Produkte, zu deren Beweis man dann aber das Auswahlaxiom benötigt.
Wesentliche Teile der Theorie der Produkttopologie wurden von Andrey Tychonoff entwickelt.Definition
Explizite Beschreibung
Universelle Eigenschaft
Beispiele
Eigenschaften