Primzahlsatz
Der Primzahlsatz erlaubt eine endliche Abschätzung der Anzahl der Primzahlen. Er wurde bereits von Gauss um 1800 vermutet, aber erst 1896 unabhängig von Hadamard und de la Vallée Poussin bewiesen.Im weiteren sei π(x) die Primzahlfunktion, die für beliebige reelle Zahlen x definiert ist als die Anzahl der Primzahlen p ≤ x. Formaler kann man schreiben:
Für natürliche Zahlen gilt nach einem Ergebnis von Godfrey Harold Hardy (1979) auch die konkrete Formel
In der ersten Gleichung bezeichnet das Symbol die Menge der Primzahlen. Die Schreibweise #{...} bedeutet "die Mächtigkeit der Menge {...}".
ist die Gaußklammerfunktion.
Bessere Approximationen als x /ln(x) liefert der so genannte Integrallogarithmus, der definiert wird als
Auch für den Integrallogarithmus gilt Li(x) ~ π(x). Die Integraldarstellung für Li(x) wird gewählt, weil die Stammfunktion von 1/ln(x) nicht elementar ist.
Weiterhin sei definiert: Zwei Funktionen f(x) und g(x), mit x reelle Zahl, heißen asymptotisch äquivalent, in Formelschreibweise f(x) ~ g(x), wenn der Quotient f(x) / g(x) für x gegen unendlich gegen 1 konvergiert.
Dann gilt folgender
.
Das bedeutet, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als x sind, anhand der Funktion x / ln(x) abgeschätzt werden kann. Genauer gesagt: Man weiß, dass die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als x sind, größer ist als der Wert x / ln(x)''', wobei die verhältnismäßige Differenz mit zunehmendem x geringer wird. Zum Beispiel folgt daraus, dass es mehr als (100000 / ln 100000 = 8685,89), also mehr als 8685 Primzahlen unter den ersten 100000 Zahlen gibt.
Tschebyschev präzisierte 1851 den Primzahlsatz durch folgende Ungleichung:
- für alle reellen x ≥ 2.
x | π(x) | π(x) / x | x / ln(x) | π(x)·ln(x) / x | Legendre |
---|---|---|---|---|---|
10 | 4 | 0,4000 | 4,34 | 0,9210 | 8 |
100 | 25 | 0,2500 | 21,71 | 1,1513 | 28 |
1 000 | 168 | 0,1680 | 144,76 | 1,1605 | 172 |
10 000 | 1 229 | 0,1225 | 1 085,74 | 1,1320 | 1 231 |
100 000 | 9 592 | 0,0959 | 8 685,89 | 1,1043 | 9 588 |
1 000 000 | 78 498 | 0,0785 | 72 382,41 | 1,0845 | 78 543 |
10 000 000 | 664 579 | 0,0665 | 620 420,69 | 1,0712 | 665 140 |
100 000 000 | 5 761 455 | 0,0576 | 5 428 681,02 | 1,0613 | 5 768 004 |
1 000 000 000 | 50 847 534 | 0,0508 | 48 254 942,43 | 1,0537 | 50 917 519 |
Die Größe π(x) / x heißt Primzahldichte.