Prädikatenlogik
Die Prädikatenlogik oder Logik erster Ordnung ist ein Teilgebiet der Logik. Man kann sie als Erweiterung der Aussagenlogik ansehen, die zusätzlich zur Verknüpfung von Aussagenn (z.B. durch und oder oder) auch die Eigenschaften von Objekten und des Geltungsbereiches betrachtet, wobei erstere durch Prädikatssymbole und Funktionssymbole, letztere durch Quantoren beschrieben werden. Die Grundlagen für eine formale Sprache der Prädikatenlogik (erster Ordnung) wurde von Ludwig Gottlob Frege 1879 in seiner "Begriffsschrift" gelegt.Mit der Prädikatenlogik lassen sich Aussagen wie:
- "Es gibt ein Objekt mit der Eigenschaft ...."
- "Für alle Objekte XY gilt ...."
Beispiel (umgangssprachlich):
- "Alle Metalle leiten den Strom."
- "Kupfer ist ein Metall."
- "Kupfer leitet den Strom."
Formal sieht dies so aus:
Die Prädikatenlogik gibt einen formalen Rahmen für diese konkrete Schlussfolgerung und darüber hinaus für viele andere weniger offensichtliche Fälle.
Häufig spricht man präziser von Prädikatenlogik erster Stufe (englisch: first-order predicate calculus oder first order logic, FOL). Diese zeichnet sich dadurch aus, dass Sätze des Typs "für jede Eigenschaft E gilt folgendes..." nicht behandelt werden. Trotz dieser Einschränkung lässt sich aber mit der Prädikatenlogik erster Stufe die ganze Mengentheorie formalisieren und damit gewissermaßen fast das ganze Gebiet der Mathematik. Die Prädikatenlogik ist die klassische Logik, die der Mathematik zugrunde liegt.
Wie jeder Logikkalkül besteht die Prädikatenlogik aus
- Angaben, wie man systematisch formal korrekte Aussagen konstruiert,
- einer Menge von Axiomen, von denen jedes einzelne Axiom ebenfalls eine formal korrekte Formel darstellt,
- einer Menge von Regeln, die erlauben Sätze (Theoreme) aus früher hergeleiteten Sätzen oder den Axiomen herzuleiten.
- Die Sätze sind hier in Erweiterung zur Aussagenlogik mit Quantoren versehen, die Aussagen über die Lösungszahl machen. Der All-Quantor (∀) sagt, dass für alle betrachteten Elemente oder Elementkombinationen eine (zusammengesetzte) Aussage zutrifft.
- Der Existenz-Quantor (∃) sagt, dass mindestens für ein Element der betrachteten Elemente oder Elementkombinationen eine (zusammengesetzte) Aussage zutrifft.
Table of contents |
2 Verneinung von Aussagen "Es existiert ..." 3 Rechenregeln für Quantoren 4 Anwendung 5 Weblinks |
¬(für alle Objekte gilt die Aussage A) ⇔ Es existiert (mindestens) ein Objekt mit ¬A (A ist nicht wahr)
Beispiel 1: Alle Autos sind grün.
Beispiel 2: Für alle ganzen Zahlen n gilt: n2 ist eine Primzahl.
¬(Es existiert (mindestens) eine ganze Zahl n für die gilt: Aussage A(n)
ist wahr) ⇔ Für alle ganzen Zahlen n gilt ¬A(n)
Beispiel 1: Es gibt (mindestens) eine ganze Zahl n mit der Eigenschaft: n ist durch 3 teilbar und n ist nicht durch 6 teilbar.
Beispiel 2: Es gibt (mindestens) einen Deutschen der lügt.
Neben der Anwendung als Instrument für die Informatik, Mathematik und Linguistik findet die Prädikatenlogik insbesondere in der Konzeption und Programmierung von Expertensystemen und künstlicher Intelligenz eine Rolle.
Formeln der Prädikatenlogik lassen sich beispielsweise mit der Programmiersprache Prolog automatisch handhaben.
Eine Form der Wissensrepräsentation kann mit einer Sammlung von Ausdrücken in Prädikatenlogik erfolgen.
Der Relationenkalkül, eine der theoretischen Grundlagen von Datenbankabfragesprachen wie etwa SQL, bedient sich ebenfalls der Prädikatenlogik als Ausdrucksmittel.
Siehe auch: Fehlschluss, Syllogismus
Verneinung von Aussagen "Für alle ..."
Will man eine Aussage "für alle Objekte gilt die Aussage A" verneinen, dann
erreicht man dies zunächst durch Voranstellen von "nicht" und späteren
"Ausmultiplizieren":
Kurz: ¬(∀A) ⇔ ∃(¬A)
Verneinung: Nicht alle Autos sind grün ⇔ Es gibt (mindestens) ein Auto, das nicht grün ist. (Natürlich kann es auch grüne Autos geben.)
Verneinung: Es gibt (mindestens) eine ganze Zahl n mit der Eigenschaft n2 ist keine Primzahl.Verneinung von Aussagen "Es existiert ..."
Will man eine Aussage "Es existiert (mindestens) eine ganze Zahl n für die gilt: Aussage A(n) ist wahr" verneinen, dann erreicht man dies zunächst durch
Voranstellen von "nicht" und späteren "Ausmultiplizieren":
Kurz: ¬(∃A) ⇔ ∀(¬A)
Verneinung: Für alle ganzen Zahlen n gilt: ¬(n ist durch 3 teilbar und n ist nicht durch 6 teilbar) ⇔ Für alle ganzen Zahlen n gilt: n ist nicht durch 3 teilbar oder n ist durch 6 teilbar.
Verneinung: Alle Deutschen sagen die Wahrheit.Rechenregeln für Quantoren
Anwendung
Weblinks