Perkolation
=Technik= Perkolation beschreibt das Durchfließen von Wasser durch eine festes Substrat (z.B. Grundwasser). Dabei kann es zu Herauslösung oder Fällung von Mineralien kommen. Perkolation wird auch als Sickerlaugung bezeichnet.
=Statistische Physik/Mathematik=
Die Perkolationstheorie beschreibt das Ausbilden von zusammenhängenden Gebieten bei zufallsbedingtem Besetzen von Gebieten. Beispiele sind zum Beispiel die Punktperkolation, oder die Bondperkolation.
Bei der Punktperkolation werden Gitterpunkte mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit besetzt, bei der Bondperkolation werden besetzte Punkte untereinander Verbunden. Man kann sich aber beliebige zufällig erzeugte Objekte (wie z.B. Tröpfchen) vorstellen, die dann untersucht werden.
Mit der Perkolationstheorie können Phänomene wie elektrische Leitfähigkeit von Legierungen, Ausbreitungen von Epidemien und Waldbränden oder Wachstumsmodelle beschrieben werden.
Historisch geht die Perkolationstheorie (engl.: percolation theorie)
auf Flory und Stockmayer zurück, die sie während des zweiten Weltkriegs
entwickelten, um Polymerisationsprozesse zu beschreiben. Der
Polymerisationsprozess kommt durch das Aneinanderreihen von Molekülen
zustande, die dadurch Makromoleküle bilden. Der Verbund von solchen
Makromolekülen führt zu einem Netzwerk von Verbindungen, die sich
durch das ganze System ziehen können.
In der Geologie beschreibt die
Perkolation einfache Modelle zur Ausbreitung von Flüssigkeiten in
porösem Gestein.
Allgemein läßt sich ein einfaches Modell für Perkolation wie folgt
konstruieren:
Quadrate eines zweidimensionalen Quadratgitters werden durch eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung besetzt. Ob ein Feld besetzt wird oder
leer bleibt ist unabhängig der Besetzung der Nachbarfelder; besetzte
Felde ``ignorieren'' sozusagen die Nachbarfelder. Des Weiteren wird
das Gitter als so groß angenommen, daß Randeffekte vernachlässigt
werden können. Abhängig von der gegebenen Verteilung werden sich
Gruppen auf dem Gitter bilden, das heißt, Felder in unmittelbarer
Nachbarschaft werden besetzt sein. Diese Gruppen - als Cluster
bezeichnet - werden umso größer sein, je größer die Wahrscheinlichkeit
zur Besetzung eines Feldes ist. Die Perkolationstheorie beschäftigt sich
nun mit Eigenschaften wie Größe oder Länge dieser Cluster.
Wenn die Wahrscheinlichkeit ist, daß ein Feld besetzt ist, bilden
sich mit dem Ansteigen von p größere Cluster aus. Die
Besetzungswahrscheinlichkeit ist als der Wert definiert, bei
dem mindestens ein Cluster eine Größe erreicht, daß er sich durch das
gesamte System erstreckt, also eine Ausdehnung auf dem Gitter von der
rechten zur linken und von der oberen zur unteren Seite hat. Man sagt:
Der Cluster perkoliert durch das System. Die Größeist die
sogenannte Perkolationsschwelle.
Bond-Pekolation
Die soeben gegebene Definition ist gegeben für die sogenannte "Platzperkolation" (engl.: site- percolation). Das Gegenstück dazu wird "Verbindungsperkolation" (engl.: bond -percolation) genannt und beschreibt folgenden Sachverhalt:Ein Gitter, z.B. oben genanntes Quadratgitter, ist vollständig besetzt und es bestehen von jedem Feld des Gitters vier Verbindungen zu den jeweils vier Nachbarfelder. Nun ist mit einer Wahrscheinlichkeit eine Verbindung zu einem Nachbarfeld geöffnet und mit einer wahrscheinlichkeit
die Verbindung geschlossen. Diese Art der Perkolation lässt sichgut mit dem oben genannten Modell in der Geologie vergleichen. Die Hohlräume in einem porösen Gestein sind mit Wasser gefüllt und durch ein Netzwerk von Kanälen verbunden. Mit einer Wahrscheinlichkeit besteht ein Kanal zwischen zwei nächsten Nachbarn, und mit einer Wahrscheinlichkeit von besteht keiner.
Ein Cluster ist dann definiert als Gruppe von Gitterplätzen, die durch offene Kanäle verbunden sind. Auch hier ist wieder die Perkolationsschwelle und es gibt für einen Cluster, der durch das gesamte System perkoliert, während ein solcher Cluster bei
nicht existiert. Die Perkolationsschwelle ist bei derbond-percolation niedriger als bei Systemen, welche entsprechend der site-percolation verhalten. Das gilt für alle Gittertypen.
Gerichtete Perkolation
Die gerichtete Perkolation (directed percolation DP) läßt sich sehr anschaulich mit einer Kaffeemaschine (engl. coffee percolator) oder mit dem bereits erwähnten porösen Gestein erklären.Anhand der bond-Perkolation wird der Unterschied zwischen "normaler", oder isotroper Perkolation (IP) und der gerichteten Perkolation klar.
Wenn Wasser auf ein poröses Medium gegossen wird, stellt sich die Frage, ob das Medium durchdrungen werden kann, d.h. ob es einen Kanal von der Oberseite zur Unterseite des Mediums gibt, oder ob das Wasser vom Mediuim absorbiert wird. Die Wahrscheinlichkeit, daß das Wasser auf einen offenen Kanal trifft ist wie bei IP durch gegeben. Im Gegensatz zu der isotropen Perkolation existiert eine gegebenen Vorzugsrichtung. Wasser in porösem Gestein wie auch in der Kaffemaschine bewegt sich in die Richtung, die durch die Gravitation bestimmt wird. Die Perkolationsschwelle bei der gerichteten Perkolation ist größer als bei der isotropen Perkolation.