Nyquist-Shannon-Abtasttheorem
Das Nyquist-Shannonsche Abtasttheorem, benannt nach Harry Nyquist und Claude Shannon, besagt, dass ein kontinuierliches Signal mit einer Maximalfrequenz fmax mit einer Frequenz größer als 2 · fmax abgetastet werden muss, damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust wieder rekonstruieren kann:
In der Praxis bedeutet das, dass man vor der Digitalisierung die maximale Frequenz kennen oder herausfinden muss (zum Beispiel mit Hilfe der Fourier-Analyse eines hochfrequent abgetasteten Signals) und dann das Signal zwecks Digitalisierung mit mindestens der doppelten Frequenz abgetastet werden muss.
Das Nyquist-Shannon Abtasttheorem findet bei jeder Digitalisierung Anwendung. nennt man die Nyquist-Frequenz.
Eventuell enthaltene Signalanteile mit einer Frequenz größer der halben Abtastfrequenz müssen vor der Digitalisierung mit einem (analogen) Tiefpass-Filter aus dem Signal herausgefiltert werden, da es sonst zu Artefakten kommt.
Diese Artefakte sind Alias-Signale (Störsignale, Pseudosignale) die sich als störende Frequenzanteile bemerkbar machen. Wird zum Beispiel ein Sinus mit 1600 Hz mit einer Abtastfrequenz von 2000 Hz digitalisiert, erhält man ein 400 Hz Alias-Signal (2000-1600 Hz). Bei einer Abtastfrequenz über 3200 Hz entsteht dagegen kein Alias-Signal.
Zu mathematischen Grundlagen siehe: Fourier-Transformation
Alias-Signale treten auch beim Scannen von Vorlagen mit wechselnden Ortsfrequenzen auf, man spricht dann von einem Moiré. (z.B. Kleidungsstücke wie Wollpullis oder Anzüge mit dünnen Streifen, auch Ziegeldächer etc.) Oft sind Moirés auch im Fernsehen zu sehen, wenn Moderatoren Nadelstreifenanzüge tragen.
Im hier vorliegenden Fall ist die Ursache eine Überlagerung der Spektren der Abtast-Funktion, deren Ausgangssignale mit fabtast periodisch sind.
Weil Tiefpassfilter nicht beliebig steil gestaltet werden können, verwendet man in der Praxis eine modifizierte Formel:
Beispiel:
Bei einer CD werden Frequenzen bis 20 kHz übertragen, die Abtastfrequenz beträgt 44,1 kHz.
Der verwendete Faktor ist abhängig vom verwendeten Tiefpassfilter und von der benötigten Dämpfung der Alias-Signale. Andere gebräuchliche Faktoren sind 2,4 (DAT, DVD) und 2,56 (FFT-Analysatoren)
Wenn man eine höhere Abtastfrequenz wählt, erhält man keine zusätzlichen Informationen. Der Aufwand für Verarbeitung, Speicherung und Übertragung steigt jedoch. Trotzdem wird Oversampling häufig angewendet.
Liegt nämlich die Nutzbandbreite B sehr nahe bei der Abtastfrequenz, so werden sehr hohe Anforderungen an die Flankensteilheit des Tiefpassfilters gestellt. Diese analogen Filter können häufig nur mit großem Aufwand abgeglichen werden.
Oversampling erlaubt es, die Anforderungen an das analoge Tiefpassfilter drastisch zu reduzieren, in dem die steilflankige Bandbegrenzung auf ein präzises Digitalfilter hoher Ordnung verlagert wird. (In der Praxis wird häufig ein Oversampling-Faktor M = 2 oder M = 4 gewählt).
Somit braucht man weniger steile analoge Filter vor dem Abtasten. Nach der Abtastung wird dann das digitale Filter angewendet und gleichzeitig die Abtastfrequenz reduziert. Das digitale Filter wird auch als Dezimationsfilter bezeichnet.
Das Konzept fabtast > 2 · fmax ist eine vereinfachte Darstellung, die allerdings sehr gebräuchlich und nützlich ist. Genau genommen muss anstelle von fmax die Bandbreite stehen, welche definiert ist durch den Bereich zwischen niedrigster und höchster im Signal vorkommenden Frequenz. Nur in Basisbandsignalen ist die Bandbreite mit fmax identisch, Basisbandsignale sind Signale mit niederfrequenten Anteilen in der Nähe von 0 Hz.
Diese Erkenntnis führte zu einem Konzept namens Unterabtastung, welches z. B. in digitaler Radiotechnik Verwendung findet. Angenommen man möchte alle Radiosender empfangen, die zwischen 88 und 108 MHz senden, interpretiert man das Abtasttheorem in seiner Basisband-Version, müsste die Abtastfrequenz über 216 MHz liegen. Tatsächlich wird aber durch die Technik der Unterabtastung nur eine Abtastfrequenz von mehr als 40 MHz benötigt. Voraussetzung dafür ist, dass vor der Digitalisierung aus dem Signal mittels Bandpassfilter alle Frequenzen außerhalb des Frequenzbereichs von 88 - 108 MHz entfernt werden. Wird das Signal dann beispielsweise mit 44 MHz abgetastet, erscheint die analoge Frequenz von 100 MHz als 12 MHz im Digitalsignal. Durch das Wissen über die Unterabtastung und das Bandpassfilter kann dieses Signal korrekt als 100 MHz-Signal interpretiert werden.
Oberflächlich betrachtet scheint die Übertragungsgeschwindigkeit beim Modem-Standard V.90 dem Abtasttheorem zu widersprechen, dies ist aber nicht der Fall.
Siehe auch: Informationstheorie, Claude Shannon
Literatur: Artikel "Signalabtastung" in Funkamateur 5/2004, S. 457
Tiefpass zur Verhinderung von Signalstörungen
Abtasttheorem bei Bildern
Modifizierte Formel für praktische Anwendung
Überabtastung (Oversampling)
Unterabtastung (Sub-Nyquist-Sampling)
Modem-Standard V.90
Referenzen