Nabla-Operator
Der Nabla-Operator ist ein Differentialoperator in der Vektoranalysis. Er wird mit dem Nabla-Symbol bezeichnet oder mit , um seinen Charakter als formalen Vektor zu betonen.
Nabla wird für die kürzere Schreibung des Gradienten, der Divergenz und der Rotation benutzt.
Im n-dimensionalen Raum Rn liefert alle partiellen Ableitungen einer Funktion f von Rn nach R, dies ist genau der Gradient von f.
Als n-Vektor aufgefasst ist
In der Tensoranalysis erweist sich der Nabla-Operator als wichtiges Beispiel für einen kovarianten Tensor.
Die folgenden Formeln gelten für den in der Physik am häufigsten Fall eines dreidimensionalen Ortsraums R3 mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y und z.
- Angewandt auf ein Skalarfeld erhält man den Gradienten des Skalarfeldes
- Angewandt auf ein Vektorfeld ergibt sich die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu
- Die Rotation ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt
Ferner gelten für beliebige Skalarfelder φ, ψ und f und Vektorfelder und folgende Rechenregeln: