Näherungslösungen für diskrete Verteilungen
Näherung für Hypergeometrische Verteilung:
Eine Hypergeometrische Verteilung H a,b,c, bei der c viel kleiner als a ist, kann durch eine Binomialverteilung mit Menge ME = c und Einzelwahrscheinlichkeit EW = b/a angenähert werden.
Beispiel: In einem Behälter befinden sich 1000 Kugel, davon sind
125 gelb. Es werden 5 Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau
0, 1, 2, 3, 4, 5 der entnommenen Kugeln gelb sind.
Die exaktere Hypergeometrische Verteilung H 1000,125,5 kann durch die leichter berechenbare Binomialverteilung B 5,125/1000 angenähert werden.
n
|
|
| |
0
| 51.21743713529586
| 51.2908935546875
| 0.9985678467599065 |
1
| 36.7518923186681
| 36.6363525390625
| 1.0031536922100095 |
2
| 10.452373044758817
| 10.467529296875
| 0.998552069768679 |
3
| 1.4726711162718609
| 1.495361328125
| 0.9848262681223742 |
4
| 0.1027836820281276
| 0.1068115234375
| 0.9622901979136242 |
5
| 0.002842702977235072
| 0.0030517578125
| 0.9314969115803883 |
Näherung für Binomialverteilung durch Poisson-Verteilung:
Eine Binomialverteilung B ME,EW, bei der ME groß und EW klein ist, kann durch
eine Poisson-Verteilung mit λ = ME * EW angenähert werden.
Beispiel: Eine Veranstaltung wird von 70 Personen besucht. Die Wahrscheinlichkeit,
in diesem Jahr an einem Montag Geburtstag zu haben, beträgt für jeden Besucher 1/7.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau
0, 1, 2, 3, ..., 70 der Besucher in diesem Jahr an einem Montag Geburtstag haben.
Die exaktere Binomialverteilung B 70,1/7 kann durch die leichter berechenbare Poisson-Verteilung P 10 angenähert werden.
n
|
|
| |
0
| 0.002059324213047817
| 0.004539992976248485
| 0.45359634339115 |
1
| 0.024025449152224532
| 0.04539992976248486
| 0.5291957339563417 |
2
| 0.13814633262529105
| 0.22699964881242427
| 0.6085750940497928 |
3
| 0.5218861454733217
| 0.7566654960414142
| 0.6897184399230984 |
4
| 1.4569321561130226
| 1.8916637401035354
| 0.7701855912474599 |
5
| 3.2052507434486497
| 3.783327480207071
| 0.8472041503722058 |
6
| 5.787258286782282
| 6.305545800345118
| 0.9178044962365559 |
7
| 8.81867929414443
| 9.007922571921597
| 0.9789914626523262 |
8
| 11.57451657356456
| 11.259903214901998
| 1.0279410357849423 |
9
| 13.289259769648199
| 12.511003572113333
| 1.0622057369777733 |
10
| 13.510747432475664
| 12.511003572113333
| 1.0799091659274027 |
11
| 12.282497665886966
| 11.37363961101212
| 1.0799091659274025 |
12
| 10.064824476212932
| 9.478033009176768
| 1.0619106798286126 |
13
| 7.484100251542948
| 7.290794622443666
| 1.0265136571676587 |
14
| 5.078496599261285
| 5.207710444602618
| 0.9751879743092757 |
15
| 3.1599534395403555
| 3.4718069630684125
| 0.9101754426886574 |
16
| 1.8103899914033286
| 2.169879351917758
| 0.8343274891312692 |
17
| 0.9584417601547033
| 1.2763996187751518
| 0.7508947402181421 |
18
| 0.47034641933517835
| 0.7091108993195289
| 0.6632903538593586 |
19
| 0.2145439807493796
| 0.37321626279975206
| 0.5748516400114442 |
20
| 0.09118119181848632
| 0.18660813139987603
| 0.4886238940097274 |
30
| 5.155693687577098e-7
| 0.000017115717355367895
| 0.030122568517177283 |
40
| 8.526574737547631e-15
| 5.5642945652105266e-11
| 0.00015323729967241635 |
50
| 4.124466238879218e-25
| 1.4927267257774844e-17
| 2.7630417327263945e-8 |
60
| 1.671540317604914e-38
| 5.456075000160363e-25
| 3.063631488855606e-14 |
70
| 6.968466218141442e-58
| 3.790095431519757e-33
| 1.8385991445463995e-25 |
71 | 0 | 5.3381625796052916e-34
| 0 |
Näherung für Binomialverteilung durch Dichtefunktion der Normalverteilung:
Eine Binomialverteilung B ME,EW, bei der ME groß und EW nahe 0.5 ist, kann durch
die Dichtefunktion einer Normalverteilung mit Erwartungswert = ME * EW
und Streuung = ME * EW * ( 1 - EW ) angenähert werden.
Beispiel: Eine Münze wird 20-mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf ihre Vorderseite fällt,
liegt bei jedem einzelnen Wurf bei 50 Prozent.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze genau
0, 1, 2, 3, ..., 20-mal auf ihre Vorderseite fällt.
Die exaktere Binomialverteilung B 20,0.5 kann durch die leichter berechenbare Dichtefunktion mit Erwartungswert 10 und Streuung 5 angenähert werden.
n
|
|
| |
-1 | 0 | 0.00009918861648498695
| 0 |
0
| 0.000095367431640625
| 0.0008099910956089116
| 0.11773886423891171 |
1
| 0.0019073486328125
| 0.005415514964427321
| 0.352200787061106 |
2
| 0.01811981201171875
| 0.02964424401438653
| 0.611242169067462 |
3
| 0.1087188720703125
| 0.13285628439771074
| 0.8183193784409784 |
4
| 0.4620552062988281
| 0.48748912161279473
| 0.9478267017942436 |
5
| 1.47857666015625
| 1.4644982561926487
| 1.0096131244295243 |
6
| 3.696441650390625
| 3.6020844672153665
| 1.0261951611723872 |
7
| 7.39288330078125
| 7.253707348392292
| 1.0191868717201287 |
8
| 12.013435363769531
| 11.959341596728198
| 1.0045231392216551 |
9
| 16.017913818359375
| 16.143422587153616
| 0.9922253928424003 |
10
| 17.619705200195312
| 17.84124116152771
| 0.9875829288261564 |
11
| 16.017913818359375
| 16.143422587153616
| 0.9922253928424003 |
12
| 12.013435363769531
| 11.959341596728198
| 1.0045231392216551 |
13
| 7.39288330078125
| 7.253707348392292
| 1.0191868717201287 |
14
| 3.696441650390625
| 3.6020844672153665
| 1.0261951611723872 |
15
| 1.47857666015625
| 1.4644982561926487
| 1.0096131244295243 |
16
| 0.4620552062988281
| 0.48748912161279473
| 0.9478267017942436 |
17
| 0.1087188720703125
| 0.13285628439771074
| 0.8183193784409784 |
18
| 0.01811981201171875
| 0.02964424401438653
| 0.611242169067462 |
19
| 0.0019073486328125
| 0.005415514964427321
| 0.352200787061106 |
20
| 0.000095367431640625
| 0.0008099910956089116
| 0.11773886423891171 |
21 | 0 | 0.00009918861648498695
| 0 |