Mohrscher Spannungskreis
Der mohrsche Spannungskreis ist ein von Christian Otto Mohr entwickeltes Verfahren zur geometrischenschen Darstellung von Zug- und Schubspannungen.
In der Festigkeitslehre kann das Verfahren angewendet werden, um mechanische Belastungen in einem Werkstück zu bestimmen. Dabei wird beispielsweise ein Stab in einem Winkel φ geschnitten und die auftretenden Schub- und Zugspannungen in Abhängigkeit von diesem Winkel im Spannungskreis aufgetragen.
Die beiden Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand sind durch die Formel
zu bestimmen. Die Ergebnisse werden so sortiert, dass . Hauptspannungen sind diejenigen Spannungen, die bei einem bestimmten Winkel φ auftreten, für den die Schubspannungen verschwinden.
Die Winkel, unter denen die Hauptspannungen auftreten, sind durch
gegeben. Diese Bestimmung liefert aufgrund der Eigenschaften des Tangens kein eindeutiges Ergebnis; Die Winkel lassen sich jedoch auch aus dem Spannungskreis ablesen: Dazu lässt man den Punkt entlang der Kreisbahn nach unten wandern, bis er über σ1 und σ2 streicht. Der an diesen Punken gefundene Winkel entspricht 2φ - er muss also noch halbiert werden.
Im ebenen Spannungszustand lassen sich die maximalen Schubspannungen wie folgt berechnen:
Sie treten im Winkel φ' auf, der um 45° gegen die Hauptspannungsrichtungen geneigt ist.
Zur Berechnung der Spannungen in einem beliebigen Schnittwinkel φ können folgende Formeln verwendet werden:
Es lässt sich zeigen, dass die Summe der Spannungen im gedrehten Schnitt gleich der Summe der Spannungen im ungedrehten System ist:
Treten nur Schubspannungen auf, so liegt Mittelpunkt des Spannungskreises im Ursprung des Koordinatensystems.
Bei hydrostatischem Druck (ideale Flüssigkeit) ist vom Winkel φ unabhängig τ = 0; Der Spannungskreis entartet aufgrund des nun nicht mehr vorhandenen Radius zu einem Punkt.
Siehe auch: Mechanische Spannungebener Spannungszustand
Sonderfälle
Bei einem Zugstab liegt der Spannungskreis auf der rechten Seite des Koordinatensystems, da σ2 = 0 und σ1 > 0. Ist ein Druckstab gegeben, so liegt der Spannungskreis komplett im negativen Bereich des Koordinatensystems. Hier ist σ1 = 0 und σ2 < 0.