Maximum-Likelihood-Methode
Die Maximum-Likelihood-Methode (von engl. maximale Wahrscheinlichkeit) bezeichnet in der Statistik ein Schätzverfahren.Sie ist aufgrund ihrer Vorteile gegenüber anderen Schätzverfahren (OLS- und Momentenmethode) das wichtigste Prinzip zur Gewinnung von Schätzfunktionen für die Parameter einer Verteilung. Bei dieser Methode wird von einer Zufallsvariablen X ausgegangen, deren Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion von einem Parameter q abhängt. Liegt eine einfache Zufallsstichprobe mit n unabhängigen und identisch verteilten Realisationen vor, so lässt sich die Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion wie folgt faktorisieren:
Statt nun für einen festen Parameter q die Dichte für beliebige Werte auszuwerten, kann umgekehrt für beobachtete und somit feste Realisationen die Dichte als Funktion von q betrachtet werden. Dies führt zur Likelihood-Funktion
Wird diese Funktion in Abhängigkeit von q maximiert, so erhält man die Maximum-Likelihood-Schätzung für q. Es wird also der Wert von q gesucht, bei dem die Stichprobenwerte die größte Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion haben. Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist in diesem Sinne der plausibelste Parameterwert für die Realisierungen der Zufallsvariablen X. Die Maximierung dieser Funktion erfolgt, in dem man die 1. Ableitung nach q bildet und diese dann Null setzt. Da dieses bei Dichtefunktionen mit komplexen Exponentenausdrücken sehr aufwendig werden kann, wird häufig die logarithmierte Likelihood-Funktion verwendet:
Table of contents |
2 Maximum-Likelihood-Schätzung 3 Literatur |
p | 0 | 1/8 | 2/8 | 3/8 | 4/8 | 5/8 | 6/8 | 7/8 | 1 |
L(p) | 0 | 0.002 | 0.012 | 0.033 | 0.063 | 0.092 | 0.105 | 0.084 | 0 |
Damit ist p=6/8=0.75 plausibelste Parameterwert für die Realisation 3 rote Kugeln bei 4 Ziehungen und somit der Schätzwert für p nach der Maximum-Likelihood-Methode, d.h. 0.75 * 8 = 6 rote Kugeln sind die wahrscheinlichste Anzahl.
Maximum-Likelihood-Schätzung
Als Maximum-Likelihood-Schätzung bezeichnet man in der Statistik eine Parameterschätzung, die nach der
Maximum-Likelihood-Methode berechnet wurde.