Lp-Raum
In der Mathematik sind Lp-Räume spezielle Banachräume. Das L in der Bezeichnung geht auf Lebesgue zurück, da diese Räume über das Lebesgue-Integral definiert werden. Manchmal werden sie daher auch als Lebesgue-Räume bezeichnet. Das p in der Bezeichnung ist ein reeler Parameter: Für jedes Zahlist ein Lp-Raum definiert.
Table of contents |
2 Wichtige Eigenschaften 3 Verallgemeinerungen |
Definition
Sei ein Massraum, ein Banachraum, . Die Menge
Sie ist mit
Auch für kann man einen Lp-Raum definieren. Hierfür gibt es aber verschiedene Möglichkeiten, die aber für -endliche Maßräume alle zusammenfallen, am verbreitesten ist:
Am häufigsten tritt der Fall auf, dass eine Teilmenge des euklidischen Raums ist,
das Lebesgue-Maß und die reelen Zahlen sind. In diesen Fall besteht derLp-Raum aus allen messbaren Funktion , für die das Lebesgue-Integral von
endlich ist. Der Fall ist ein Sonderfall, hier wird die Norm nicht überein Integral definiert, sondern über das essentielle Supremum.
In einem weiteren wichtigen Fall sind die natürlichen Zahlen, und
das normale Zählmaß. Hier ist der Lp-Raum der Raum aller Zahlenfolgen, für die die Reihe konvergiert. Diese Räume werden auch oft mit lp bezeichnet.
Wichtige Eigenschaften
Lp ist der Raum Lq, wobei q die Gleichung erfüllt.
Genauer gilt: Für reflexive Banachräume und ist
- Daraus folgt, dass für die Lp-Räume reflexiv sind.
- Der Fall p=2 ist ein Sonderfall: Der L2 ist nämlich sogar ein Hilbertraum.
- Die Räume und sind nicht reflexiv.