Logistische Gleichung
Die
logistische Gleichung ist ein Beispiel dafür, wie komplexes,
chaotisches Verhalten aus einfachen nichtlinearen Gleichungen entstehen kann. Diese Gleichung wurde bekannt durch eine Seminararbeit des Biologen Robert May aus dem Jahr
1976. Das logistische Modell wurde ursprünglich als
demographisches Modell von Verhulst eingeführt. Es enthält zwei Faktoren, die die Größe einer
Population beeinflussen:
- Durch Fortpflanzung vermehrt sich die Population um einen Faktor, der proportional zur aktuellen Populationsgröße ist.
- Durch Verhungern verringert sich die Population um einen Faktor, der proportional zur Differenz der theoretischen Maximalgröße der Population und der aktuellen Größe ist.
Mathematisch kann man die Abhängigkeit der Populationsgröße des aktuellen Jahres von der Populationsgröße der Vorjahres so ausdrücken:
- (1) ,
xn ist dabei eine Zahl zwischen 0 und 1, sie repräsentiert die Größe der Population im Jahr
n. Die Zahl
x0 steht also für die Startpopulation (im Jahr 0).
r ist eine positive Zahl, sie ist der kombinierte Proportionalitätsfaktor für Vermehrung und Verhungern.
Verhalten in Abhängigkeit zu r
Bei verschiedenen r können die folgenden Verhaltensweisen beobachtet werden:
- Mit r von 0 bis 1 stirbt die Population in jedem Fall.
- Mit r zwischen 1 bis 2 stellt sich ein Grenzwert ein, der nur von r abhängt.
- Mit r zwischen 2 und 3 nähert sich die Population einem Häufungspunkt wellenförmig, wobei der Grenzwert wieder nur von r abhängt.
- Mit r zwischen 3 und (etwa 3,45) wechselt die Folge zwischen zwei Häufungspunkten, die nur von r abhängen.
- Mit r zwischen und ungefähr 3,54 wechselt die Folge zwischen vier Häufungspunkten, die nicht von der Anfangspopulation abhängen.
- Wird r größer als 3,54, stellen sich erst 8, dann 16, 32 usw. Häufungspunkte ein, die nicht von der Anfangspopulation abhängen. Die Intervalle gleicher Anzahl von Häufigpunkten werden immer kleiner; das Verhältnis zwei aufeinanderfolgender Bifurkationsintervalle erreicht die Feigenbaumkonstante ().
- Bei r annähernd 3,57 beginnt das Chaos: Perioden sind nicht mehr erkennbar, winzige Änderungen des Anfangswertes resultieren in unterschiedlichsten Folgewerten - eine Eigenschaft des Chaos.
- Die meisten Koeffizienten zwischen 3,57 und 4 führen zu chaotischem Verhalten, obwohl für bestimmte r wieder Häufungspunkte vorhanden sind. Beispielsweise bei r = 3,82 existieren erst 3, dann 6, 12 usw. Häufungspunkte für höhere r. Ebenso gibt es r mit 5 oder mehr Häufungspunkten - alle Periodendauern tauchen auf. Diese Verhaltensweisen hängen wiederum nicht vom Anfangswert ab.
- Für r größer 4 divergiert die Folge für fast alle Anfangswerte und verlässt das Intervall .
Das folgende Bifurkationsdiagramm fasst diese Beobachtungen zusammen. Die horizontale Achse gibt den Wert des Parameters r an und die vertikale Achse die langfristige Entwicklung der Population x.
(Rest ist noch aus dem englischen Artikel zu übersetzen.)
Siehe auch: Chaostheorie