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Logik



Unter Logik (synonym häufig auch: formale Logik, mathematische Logik) wird heute im allgemeinen eine, teils in der Philosophie, teils in der Mathematik angesiedelte Theorie verstanden, die sich primär mit den Normen des korrekten Folgerns beschäftigt. Sie untersucht, unter welchen Bedingungen das Folgern einer Aussage aus einer Menge anderer Aussagen korrekt ist und entwickelt hierzu formale Sprachen zur exakten Beschreibung und Normierung der Schlussregeln. Die Logik lässt sich somit erkennntnistheoretisch als eine Lehre von den Gesetzen des abgeleiteten Wissens, d.h. des Wissens, das aus bereits gewonnenen tatsächlichen oder vermeintlichen Wahrheiten erzeugt werden kann.

Charakteristisch für die Regeln der deduktiven Logik - d.h. der Logik im engeren Sinne, im Gegensatz zu einer induktiven "Logik" - ist der Umstand, dass ein Übergang von einer Aussage zu einer anderen salva veritate, das heißt, unter Erhaltung des Wahrheitswertes, möglich ist. Ein logisch gültiger Schluss ist ein solcher, der uns aufgrund seiner logischen Form nicht von wahren Prämissen zu einer falschen Konklusion führen kann, also wahrheitserhaltend ist.

Daraus ergibt sich ein geläufiges Verfahren zur Überprüfung der Gültigkeit einer Folgerung, nämlich die Suche nach Gegenbeispielen. Gelingt es zu einem Argument, dessen logische Gültigkeit zweifelhaft ist, ein struktur- oder formgleiches Argument zu finden, dessen Prämissen wahr und dessen Konklusion falsch ist, so ist das Argument (und generell das Schlussschema) zu verwerfen.

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Table of contents
1 Verschiedene Bedeutungen von "Logik"
2 Teilgebiete
3 Formaler Aufbau eines logischen Systems
4 Geschichte der Logik
5 Weitere Autoren / Forscher / Klassiker
6 Literatur
7 Siehe auch
8 Weblinks

Verschiedene Bedeutungen von "Logik"

In der Geschichte der Philosophie ist oben dargestellte Verwendungsweise des Ausdrucks "Logik" erst seit Beginn des 20. Jahrhunderts üblich. Zuvor wurde der Ausdruck vielfach (etwa bei Georg Wilhelm Friedrich Hegel) eher im Sinne einer allgemeinen Ontologie oder auch Erkenntnistheorie verstanden. Die Logik im modernen Sinne wurde auf der anderen Seite häufig anders bezeichnet, etwa als Analytik, Dialektik oder Logistik. Auch heute noch sind in der Philosophie und den Geisteswissenschaften Wendungen wie Logik der Forschung, Logik der Dichtung u.ä. verbreitet, bei denen unter "Logik" keine Theorie des Folgerns verstanden wird, sondern eine Lehre allgemeiner "Gesetze", die in einem bestimmten Bereich gelten.

Insbesondere in der Tradition der "ordinary language philosophy" wurde unter einer "logischen" Analyse vielfach eine Analyse begrifflicher Zusammenhänge verstanden.

In der Umgangssprache werden Ausdrücke wie Logik oder logisches Denken darüber hinaus in einem sehr viel weiteren oder völlig anderen Sinne verstanden und etwa einem "lateralen Denken" gegenübergestellt. Ebenso in der Umgangssprache gibt es den Begriff der "Frauenlogik", "Männerlogik", der "Affektlogik" und den Begriff der "Alltagslogik" (bekannt auch als "gesunder Menschenverstand"). In diesen Bereichen wird die Logik oft als Logik des Handelns, der Pragmatik, angesehen.

Auch in der gegenwärtigen Debatte ist zwar klar, dass die Theorie des korrekten Folgerns den Kern der Logik ausmacht; umstritten ist jedoch, welche Theorien genau noch zur Logik zu rechnen sind und welche nicht. Strittige Fälle sind etwa die Mengentheorie, die Argumentationstheorie (die sich etwa unter pragmatischer Rücksicht mit Fehlschlüssen beschäftigt) und die unten aufgeführten "philosophischen Logiken".

Teilgebiete

Klassische Aussagen- und Prädikatenlogik

Die wichtigsten Teilgebiete der elementaren
formalen Logik sind die klassische Aussagen- und Prädikatenlogik. Während in der Aussagenlogik Aussagen (d.h. wahrheitsfähige Sätze) nicht weiter analysiert werden und nur die verschiedenen Junktoren, die Aussagen miteinander verknüpfen, relevant sind, beruht die Prädikatenlogik auf einer genaueren Unterscheidung zwischen verschiedenen Ausdruckskategorien wie Termen, Funktoren, Prädikatoren und Quantoren.

Die bis zum 19. Jahrhundert dominante Syllogistik, die auf Aristoteles zurückgeht, lässt sich als ein Vorläufer der Prädikatenlogik verstehen.

Kalkültypen und logische Verfahren

Die moderne formale Logik widmet sich der Aufgabe, exakte Kriterien für die Gültigkeit von Schlüssen und die logische Gültigkeit von Aussagen (Tautologien) zu entwickeln. Hierzu wurden verschiedene Verfahren entwickelt.

Insbesondere im Bereich der Aussagenlogik (aber nicht nur) sind semantische Verfahren gebräuchlich, also solche Verfahren, die darauf beruhen, dass den Aussagen ein Wahrheitswert zugeschrieben wird. Hierzu zählen einerseits:

Während Wahrheitstabellen eine vollständige Auflistung aller Wahrheitswertkombinationen vornehmen (und insofern auch nur im aussagenlogischen Bereich verwendbar sind), gehen die beiden übrigen (auch prädikatenlogisch verwertbaren) Verfahren nach dem Schema einer
Reductio ad absurdum vor: Wenn eine Tautologie bewiesen werden soll, geht man von ihrer Negation aus und versucht einen Widerspruch abzuleiten. Hier sind zwei Varianten gebräuchlich:

Zu den logischen Kalkülen, die ohne semantische Bewertungen auskommen, zählen:

Ergänzungen und Alternativen zur klassischen Prädikatenlogik

Philosophische Logiken

Die klassische Aussagen- und Prädikaten-Logik kann einerseits modifiziert werden, indem man die Sprache um weitere Operatoren für bestimmte Redebereiche anreichert. So beschäftigt sich die
Modallogik mit Ausdrücken wie "notwendig" oder "möglich"; die deontische Logik mit "geboten" oder "erlaubt"; die epistemische Logik mit "wissen" und glauben". Diese Logiken werden häufig als philosophische Logiken bezeichnet.

Pragmatische Logiken

In einer wiederum anderen Stellung zur klassischen Prädikaten- und Quantorenlogik stehen pragmatische Logikenen, die sich nicht nur mit apophantischen, also wahrheitsfähigen Aussagen, sondern auch mit anderen Sprechakten wie Aufforderungen oder Fragen beschäftigen. Hierzu zählen die Fragelogik, die sich mit Fragen (häufig als Aufforderung zum Machen einer Behauptung verstanden) beschäftigt, sowie die Imperativlogik, die es mit logischen Relationen, die zwischen Aufforderungen bestehen, zu tun hat.

Gilbert Ryle (1900 - 1976) entwickelte eine nichtformale Logik der Umgangssprache.

Nicht-klassische Logiken

Intuitionismus, Relevanzlogik und konnexe Logik
Die meistdiskutierten Abweichungen von der klassischen Logik stellen solche Logiken dar, die bestimmte Prinzipien, die in der klassischen Logik gültig sind, problematisieren. Die im engeren Sinne nicht-klassischen Logiken sind schwächer als die klassische Logik.

Hierzu gehören der von L. E. J. Brouwer entwickelte logische Intuitionismus, der die Gültigkeit des "tertium non datur"

(TND)

und der "duplex-negatio"-Regel

(DN)

bestreitet, der Minimalkalkül I. Johanssons, in der das "ex falso quodlibet"

(EFQ)

zurückgewiesen wird sowie die sich hieran anschließenden Relevanzlogiken, die generell nur solche Implikationen als gültig anerkennen, in denen das Antezedens für das Sukzedens relevant ist.

Auf der anderen Seite sind Logiken zu erwähnen, die Prinzipien enthalten, die klassisch nicht gültig sind. So gilt etwa in einer konnexen Logik - ein Satz, der trotz seiner hohen Plausibiltät keine klassische Tautologie darstellt. Insofern die klassische Logik maximal-konsistent ist, d.h. insofern jede echte Verstärkung eines klassischen Kalküls zu einem Widerspruch führen wurde, könnte dieser Satz nicht etwa einem klassischen Kalkül als weiteres Axiom hinzugefügt werden; vielmehr müsste ein klassischer Kalkül zunächst schwächer gemacht werden.

Mehrwertige und Fuzzy-Logik
Quer hierzu stehen die mehrwertigen Logiken, in denen der aristotelische "Satz vom Ausgeschlossenen Dritten" außer Kraft gesetzt wird, wie die dreiwertige Logik und die unendlichwertige Logik von Jan Łukasiewicz ("Warschauer Schule"), die in der Fuzzy-Logik praktische Anwendung finden, und die endlichwertige Logik von Gotthard Günther ("Günther-Logik"), die auf Probleme der sich selbst erfüllende Voraussagen in der Soziologie angewandt wird.

Nichtmonotone Logiken
Klassische Logiken wie Aussagen- und Prädikatenlogik verfügen über die Monotonie-Eigenschaft. Diese besagt im Wesentlichen, dass durch Schlussfolgerungen lediglich neues Wissen gewonnen, nicht aber bereits vorhandenes Wissen revidiert werden kann. Was einmal bewiesen wurde, bleibt in einer monotonen Logik immer gültig, auch dann, wenn man zu einem späteren Zeitpunkt über neue Information verfügt.

Nichtmonotone Logiken ermöglichen eine Revidierung gewonnener Erkenntnisse. Haben wir aus den Aussagen "Tux ist ein Vogel" und "Vögel können fliegen" geschlossen, dass Tux fliegen kann, so revidieren wir diesen Schluss, wenn wir die zusätzliche Information "Tux ist ein Pinguin" erhalten. Dies ist freilich nur möglich, wenn wir eine andere Konsequenzoperation verwenden als in einer klassischen Logik. Ein gängiger Ansatz besteht darin, so genannte Defaults zu verwenden. Ein Default-Schluss ist dann gültig, wenn sich nicht aus einem klassisch-logischen Schluss ein Widerspruch zu ihm ergibt.

Die Schlussfolgerung aus dem gegebenen Beispiel würde dann so aussehen: "Tux ist ein Vogel" bleibt die Voraussetzung (prerequisite). Wir kombinieren diese nun mit einer so genannten Begründung (justification): "Vögel können normalerweise fliegen." Aus dieser Begründung schließen wir, dass Tux fliegen kann, solange nichts dagegen spricht. Die Konsequenz lautet also "Tux kann fliegen." Erhalten wir nun die Informationen "Tux ist ein Pinguin" und "Pinguine können nicht fliegen", so ergibt sich ein Widerspruch. Über den Default-Schluss sind wir zu der Konsequenz gelangt, dass Tux fliegen kann. Mit einer klassisch-logischen Schlussweise aber konnten wir nachweisen, dass Tux nicht fliegen kann. In diesem Fall wird der Default revidiert und die Konsequenz des klassisch-logischen Schlusses weiterverwendet.

Possibilistische Logik
In einer possibilistischen Logik werden klassisch-logische Aussagen mit Möglichkeits- und Notwendigkeitsgraden quantifiziert. Man kann dann possibilistische Resolutionsverfahren verwenden, um aus einer Menge possibilistischer Formeln neue possibilistische Aussagen abzuleiten.

Formaler Aufbau eines logischen Systems

Die folgenden Abschnitte beschreiben den formalen Aufbau logischer Systeme. Es wird ein formaler Rahmen geliefert, welcher beliebige Logiken umfasst und so den Vergleich und die Untersuchung der Ausdrucksfähigkeit verschiedener Logiken ermöglicht.

Grundkomponenten

Die Signatur Σ

Die mengentheoretische Intuition hinter dem Begriff der Signatur ist eine Menge aus Namen und Begriffen, durch die alle Elemente einer zu repräsentierenden Wissensbasis W formalisiert werden. Genauer gesagt handelt es sich bei den Elementen einer Signatur um Namen, die nach Prädikaten und Funktoren klassifiziert und nach ihrer Stelligkeit differenziert werden.

;Aussagenlogische Signatur

Signaturen in der Aussagenlogik enthalten als Elemente nullstellige Namen oder Bezeichner, die auch als Aussagenvariablen bezeichnet werden.

Beispiel:

;Prädikatenlogische Signatur Signaturen in der Prädikatenlogik 1. Stufe beinhalten null- und mehrstellige Funktoren und Prädikate. Somit kann eine Signatur in der Prädikatenlogik als Tupel betrachtet werden, wobei git:

=(Func, Pred)

Mit

Aufgrund der Tatsache, dass die Aussagenlogik eine echte Teilmenge der Prädikatenlogik 1. Stufe ist, enthält die Menge aller prädikatenlogischen Signaturen ebenso die Menge aller aussagenlogischen Signaturen als echte Teilmenge. Daraus folgt, dass die Aussagenvariablen durch nullstellige Prädikate modelliert werden könen. Diese können atomare Formeln, also die Atome der Aussagenlogik darstellen.

Beispiel:

Die Menge der Interpretationen Int(Σ)

Die wichtigste Eigenschaft einer Interpretation innerhalb des logischen Systems besteht darin, dass sie, zusammen mit der Erfüllungsrelation, die Verbindung zwischen der Syntax (in Form der Signatur ) der Repräsentationssprache und der Semantik von Aussagen herstellt, indem sie die Namen der Signatur zu Objekten einer Wissensbasis W zuweist.

;Interpretation in der Aussagenlogik

Bei der Interpretation einer aussagenlogischer Signatur wird jeder Aussagenvariable aus der Signatur ein Wahrheitswert zugeordnet. Diese Zuordnung erfolgt durch eine Interpretation für die gilt:

Dabei bezeichnet die Menge Int() die Menge aller Funktionen von einer gegebenen Signatur nach . Diese -Interpretation einer Signatur wird auch Belegung genannt, weil durch diese Funktion jeder Aussagenvariable mit einem Wahrheitswert belegt wird.

;Interpretation in der Prädikatenlogik In der PL1 lässt sich der Aufbau einer Interpretation wie folgt beschreiben:

wobei gilt:

Eine Interpretation I in PL1 bildet Funktoren und Prädikaten der Signatur auf Objekte der zu repräsentierenden Welt über dem Universum U gemäß folgender Tabelle ab:

Nullstellige Funktoren Elemente aus U
Ein- oder mehrstellige Funktoren Funktionen
Nullstellige Prädikate Belegung mit Wahrheitswert
Einstellige Prädikate Teilmenge von U
Mehrstellige Prädikate Relationen R

Beispiel:

Seien Signatur mit = p, mit Stelligkeit i und Interpretation

gegeben. So gilt:

I(eins)
I(plus)
I(gleich)

Die Menge der Formeln For(Σ)

Die Menge der Formeln über eine Signatur ist ein wesentlicher Bestandteil eines logischen Systems. Formeln bilden die syntaktische Repräsentation von Objekten der zu repräsentierenden Welt W, von Aussagen über diese Objekte, sowie von Sachverhalten, mit denen die Welt W beschrieben wird. Eine wesentliche Eigenschaft der Formeln eines logischen Systems ist ihre Wohlformuliertheit (engl. well-formed formula). For() enthält alle Formeln, die sich entsprechend der voregebenen Grammatik für Formeln aus den Elementen der Signatur bilden lassen. Genau für diese Formeln gilt die Eigenschaft der Wohlformuliertheit.

;Formeln in Aussagenlogik Handelt es sich bei der Signatur um eine rein aussagenlogische Signatur, d.h. die Signatur enthält ausschließlich Aussagevariablen (= nullstellige Prädikate), so bilden diese selbst bereits atomare aussagenlogische Formeln, die so genannten Literale. Die Menge For() umfasst bei einer aussagenlogischen Signatur somit die Signatur selbst und alle komplexeren Formen, die entsprechend der Grammatik für Formeln durch logische Verknüpfungen gebildet werden können.

Beispiel:

Sei eine Signatur = {Mo,Di,Mi,Do,Fr,Sa,So} gegeben. So können z.B. die folgenden Formeln gebildet werden:

;Formeln in Prädikatenlogik Neben den im vorangegangenen Abschnitt aufgeführten aussagenlogischen Formeln For() können Formeln in der prädikatenlogischen Formelmenge For() ebenso Variablen und Quantifizierungen über diese Variablen enthalten. Enhält eine Signatur das einstellige Prädikat P(x), so enhält die Formelmenge For() das Prädikat selbst, sowie existentielle und universelle Quantifizierung der Aussage P über die Individuenvariable x

Beispiel:

Sei eine Signatur Beispiel: = {Vater(x,y), Großvater(x,y)} gegeben und seien x, y, z Variablen, so lässt sich daraus die folgende Formel ableiten: Vater(x,y) Vater(y,z)Großvater(x,z)

Sei ferner eine Signatur ={loves(x,y)} gegeben, wobei x, y Variablen für Personen bezeichnen. So lassen sich folgende Sätze durch prädikatenlogische Formeln über dieser Signatur formulieren:
Everybody loves somebody
Somebody loves somebody
Everybody loves everybody
Nobody loves everybody
Somebody loves nobody

Die Erfüllungsrelation

Zusammen mit der Interpretation einer Signatur stellt die Erfüllungsrelation die Verbindung zwischen den syntaktisch durch Formeln repräsentierten Objekten einer Welt W und deren Semantik in W dar. Eine Erfüllungsrelation gibt an, wann eine Formel in einer Interpretation gilt und ob eine Formel in einer Interpretation wahr oder falsch ist. Da diese Relation eine der Grundkomponenten des logischen Systems ist, stellt jedes logische System eine solche Erfüllungsrelation (satisfaction relation) bereit:

Beispiel:

Sei eine Signatur, A ein Literal und gelte (A) = 1, dann gilt .

Überträgt man die Erfüllungsrelation auf eine Relation zwischen Formeln , so erhlt man die logische Folgerung:

Dabei wird gelesen als "aus F folgt logisch G" oder "G folgt logisch aus F".

Geschichte der Logik

Kurzer Abriss

Das erste ausgearbeitete System einer formalen Logik war die Logik von Aristoteles. Sein Verdienst um die formale Logik war es, dass er die Formen der Verknüpfung von Gedanken in einem Schluss entdeckte, die er Syllogismus nannte.

Auch führte Aristoteles Variablen in die Logik ein, indem er mit den Buchstaben A den Oberbegriff, mit B den Mittelbegriff und mit C den Unterbegriff des Syllogismus bezeichnete. Das ermöglichte es, die allgemeinsten logischen Regeln und Gesetze aus der Fülle der konkreten Beispiele mit aller Deutlichkeit herauszustellen.

Damit zeigte er, welche Formen der Verknüpfung zur Wahrheit führen, und was man tun muss, um Fehler im mittelbaren Schluss zu vermeiden. Aristoteles nahm die Modi (Modus eines Syllogismus) der ersten Figur des Syllogismus, z.B. Barbara, Celarent, Darii und Ferio, als Ausgangsaxiome und erarbeitete formale Regeln zur Reduktion der Figuren des Syllogismus auf die erste Figur, die er vollkommene nannte und für die augenscheinlichste und überzeugendste Form des Beweises hielt.

Gleichfalls auf Aristoteles geht die (allerdings nicht in seiner Analytik, sondern in seiner Metaphysik entwickelte Lehre von einigen fundamentalen Grundsätzen menschlichen Denkens, die in der traditionellen Logik häufig als Denkgesetze bezeichnet werden. Hierzu zählen der Identitätssatz, der Satz vom Widerspruch, der Satz vom ausgeschlossenen Dritten und der Satz vom zureichenden Grund.

In verschiedenen anderen Werken (in De interpretatione und der 2. Analytik hat sich Aristoteles zudem mit zentralen sprachphilosophisch-logischen Termini wie Urteil und Begriff und allgemeinen Regeln des Beweises (Beweisregeln) und des Widerlegens (Widersprüchlichkeit, logischer Widerspruch, Widerlegung) beschäftigt.

Wichtige Autoren

Weitere Autoren / Forscher / Klassiker

Literatur

Siehe auch

Deduktion, Deduktionstheorem, Induktion (Logik), klassische Logik, Kontraposition, Theorie formaler Sprachen, Theoretische Informatik, Quantenlogik, Horn-Klauseln, Resolution (Logik), Unifikation, Tableaux, Semantik, Argument, Temporale Logik, Algebraische Logik, Dynamische Logik, Aktionslogik, Autologie, Fixpunktlogik, Aequilibrium indifferentiae, logische Funktion, Wissensrepräsentation mit Logik

Weblinks




     
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