Laplace-Transformation
Die Laplace-Transformation ist eine Integral-Transformation, die eine gegebene Funktion f(t) vom Zeitbereich nach der Vorschrift:
Table of contents |
2 Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen 3 Korrespondenztabelle 4 Wichtige Eigenschaften der Laplace Transformation |
Laplace-Rücktransformation
Die Laplace-Rücktransformation ist gegeben durch
Da hier über eine komplexe Variable integriert wird, muss die Rücktransformation mit den Methoden der Funktionentheorie gelöst werden. In der Praxis verwendet man häufig Korrespondenztabellen, mit denen diese Aufgabe leichter gelöst werden kann.
Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen
Die Laplace-Transformation eignet sich aufgrund ihres Differentiationssatzes u.a. dazu Differentialgleichungen zu lösen. Dazu transformiert man die Differentialgleichung in den Spektralbereich, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitbereich zurück.
Besonderen Wert hat hier die Laplace-Transformation bei Differentialgleichungssystemen: Da Ableitungen im Bildbereich als Produkt aus Originalfunktion und Laplace-Faktor s entstehen, werden DGLSys zu einfacheren normalen Gleichungssystemen.
Originalfunktion f(t) | Bildfunktion F(s) |
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Wichtige Eigenschaften der Laplace Transformation
Linearitätssatz
Verschiebungssatz
1) Verschiebung nach rechts
2) Verschiebung nach links
Ähnlichkeitssatz
Dämpfungssatz
Multiplikationssatz
Divisionssatz
Differentiationssatz
Integrationssatz
Faltungssatz
Siehe auch: Fourier-Transformation, Faltung