Kubische Gleichung
Kubische Gleichungen sind Gleichungen der allgemeinen Form( a ungleich 0, sonst wäre es eine quadratische Gleichung).Lösung einer kubischen Gleichung mit Hilfe der Cardanische Formeln
Kubische Gleichung: a*x*x*x + b*x*x + c*x + d = 0
Durch Substitution von
- p = (c/a) - (b*b/3*a*a)
- q = (d/a) + (2*b*b*b/27*a*a*a) - (b*c/3*a*a)
x*x*x + p*x + q = 0
bringen.
Lösung
Fall 1: q*q/4 + p*p*p/27 > 0
Eine reelle Lösung: x = Kubikwurzel((-q/2) + Quadratwurzel((q*q/4) + (p*p*p/27))) + Kubikwurzel((-q/2) - Quadratwurzel((q*q/4) + (p*p*p/27))) - b/3*a
Fall 2: q*q/4 + p*p*p/27 = 0
Zwei reelle Lösungen:
- x1 = Kubikwurzel(q/2) - (b/3*a)
- x2 = - Kubikwurzel(4*q) - (b/3*a)
Drei reelle Lösungen
- x1 = 2 * (Quadratwurzel(-p/3))*cos((1/3)*arccos((-q/2)*Quadratwurzel(-27/p*p*p))) - (b/3*a)
- x2 = -2 * (Quadratwurzel(-p/3))*cos((1/3)*arccos((-q/2)*Quadratwurzel(-27/p*p*p)) + (pi/3)) - (b/3*a)
- x3 = -2 * (Quadratwurzel(-p/3))*cos((1/3)*arccos((-q/2)*Quadratwurzel(-27/p*p*p)) - (pi/3)) - (b/3*a)
- - (b/(3*a))
- - (b/(3*a))
- - (b/(3*a))