Kreisfläche
Die Kreisfläche ist in der Mathematik die vom Kreisumfang umschlossene Fläche. Sie ist gleichzeitig die Fläche, die von einer Strecke überstrichen wird, die um eine zu ihr senkrecht stehende Drehachse rotiert.
Table of contents |
2 Quadratur 3 Flächenmessung 4 Flächenverdoppelung 5 Weblink |
Die Kreisfläche A (area) steht in einem quadratischen Zusammenhang zum Radius r bzw. zum Durchmesser d des Kreiseses:
oder
Bereits in der Antike suchte man nach einem Quadrat mit ganzzahliger Kantenlänge, das den gleichen Flächeninhalt wie ein Kreis mit ganzzahligem Radius hat. Diese Quadratur des Kreises [1]
gilt heute als Sinnbild für eine unlösbare Aufgabe.Kreisflächenberechnung
Quadratur
Eine andere Möglichkeit zur Kreisflächenbestimmung ist, in den Kreis ein gleichseitiges Sechseck einzuzeichnen, dessen Ecken den Kreis eben berühren. Werden nun die Seitenmitten vom Mittelpunkt aus auf den Kreis projiziert und diese neuen Punkte mit den alten Ecken verbunden, so entsteht ein regelmäßiges Zwölfeck. Wird dieser Vorgang wiederholt, entstehen nacheinander ein 24-Eck, ein 48-Eck und so fort. Deren Flächen lassen sich durch Dreiecksflächenberechnung exakt bestimmen. Der Grenzwert der Folge dieser Flächen ist die Kreisfläche. Ähnlich kann man mit einem Sechseck verfahren, das von außen an den Kreis gezeichnet ist, dessen Seitenmitten ihn also berühren. Schließlich gibt der Mittelwert aus den Flächen des äußeren und des inneren Sechsecks (Zwölfecks,...) wieder eine gute Näherung. Das arithmetische Mittel der Ergebnisse der beiden letztgenannten Methoden ist wiederum eine sehr genaue Möglichkeit der Annäherung an den exakten Wert der Kreisfläche. |
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Die Fläche eines Kreises lässt sich geometrisch verdoppeln, indem ein Quadrat gezeichnet wird, dessen eine Ecke im Kreismittelpunkt liegt und das zwei weitere Ecken auf dem Kreisbogen hat. Durch die vierte Ecke wird ein Kreis um den alten Mittelpunkt gezogen. Dieses Verfahren wurde im 13. Jahrhundert im Bauhüttenbuch des Villard de Honnecourt dargestellt.Flächenverdoppelung