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Kovarianz



Die Kovarianz ist in der Statistik eine Maßzahl für den Zusammenhang zweier statistischer Merkmale und . Die Kovarianz ist positiv, wenn und tendenziell einen gleichsinnigen linearen Zusammenhang besitzen, d.h. hohe Werte von gehen mit hohen Werten von einher und niedrige mit niedrigen. Die Kovarianz ist hingegen negativ, wenn und einen gegensinnigen linearen Zusammenhang aufweisen, d.h. hohe Werte der einen Zufallsvariablen gehen mit niedrigen Werten der anderen Zufallsvariablen einher. Ist dieser Zusammenhang stark, so erhält man einen betragsmäßig großen Wert, bei nur schwachem Zusammenhang erhält man einen Wert nahe bei 0.

Die Kovarianz in ihrer "Rohform" ist als Maßzahl für den stochastischen Zusammenhang jedoch nur wenig anschaulich und auch schwer vergleichbar. Um einen Zusammenhang vergleichbar zu machen, muß die Kovarianz standardisiert werden. Man erhält dann die Korrelation, deren Maßzahl sich zwischen +1 (perfekter stochastischer Zusammenhang), 0 (gar kein stochastischer Zusammenhang) und -1 (perfekter gegensätzlicher stochastischer Zusammenhang) bewegt.

= Kovarianz zweier Zufallsvariablen =

Table of contents
1 Definition
2 Eigenschaften

Definition

Sind  und  zwei Zufallsvariablen mit existierendem 
Erwartungswert, so heißt

die Kovarianz von und .

Eigenschaften

Verschiebungssatz

Der Verschiebungsatz liefert eine alternative Darstellung der Kovarianz

Symmetrie

Lineare Transformation

Die Kovarianz der transformierten Zufallsvariablen und

ist 

Diese Eigenschaft bedeutet, dass die Kovarianz vom Maßstab der Zufallsvariablen abhängt. So erhält man beispielsweise die zehnfache Kovarianz, wenn man anstatt die Zufallsvariable betrachtet. Dies ist eine Eigenschaft, welche die absoluten Werte eines Zusammenhangsmaßes schwer interpretierbar macht, deshalb betrachtet man häufig den maßstabsunabhängigen Korrelationskoeffizienten.

Unkorreliertheit

Falls , so sind die Zufallsvariablen und unkorreliert.

Unkorreliertheit bedeutet nicht zwingend, dass die Zufallsvariablen 
stochastisch unabhängig sind, denn es können nichtlineare Abhängigkeitsstrukturen vorliegen, die die Kovarianz nicht erfassen kann. Dagegen gilt für zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen und immer .

=Kovarianz zweier Merkmale einer Stichprobe=

Es werden für zwei Zufallsvariablen X und Y in einer Stichprobe je n Werte xi und yi (i = 1, ... . n) erhoben. Man schätzt die Kovarianz der Zufallsvariablen mit der Stichproben-Kovarianz

mit

entsprechend.

Auch hier gilt analog zu oben der Verschiebungssatz

Der Verschiebungssatz wird vor allem angewendet, wenn die Kovarianz von Hand ermittelt wird. Wird die Stichproben-Kovarianz mit dem Computer berechnet, sollte der Verschiebungssatz nicht gebraucht werden, weil das Multiplizieren der Datenwerte zu Rundungsfehlern führen kann. Dagegen sind die zentrierten Datenwerte und betragsmäßig deutlich kleiner.

Die restlichen Eigenschaften ergeben sich ebenfalls analog zu oben.

= Verweise =

Siehe auch: Varianz, Kovarianzmatrix, Korrelation


Kovarianz bezeichnet in der Physik, dass sich die Form einer Gleichung unter Lorentz-Transformationen nicht verändert. So sind beispielsweise die Newtonschen Bewegungsgleichungen nicht kovariant, die Klein-Gordon-Gleichung dagegen ist kovariant.


In der Informatik wird die Spezialisierung oder Verfeinerung in Vererbungshierarchien auch als Kovarianz bezeichnet.
Ist t der Typ einer kovarianten Methode einer Klasse k, und ist k' eine Unterklasse von k, so ist der Typ dieser Methode in k' ein Untertyp t' von t.

Beispiel:

class T {
	T* self () { return this; }
	...
}
class S : T {
	S* self () { return this; }
	...
}

Wird Kovarianz in Parametertypen verwendet, so kann der Vertrag der Oberklasse verletzt werden, wenn Obertypsobjekte nicht mehr als Parameter zulässig sind. Stattdessen bieten viele Programmiersprachen das Konzept des Überladens an.

Siehe auch: Kontravarianz, Korrelation




     
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