Kosinussatz
In der
Trigonometrie stellt der
Kosinussatz eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines ebenen
Dreiecks und dem
Kosinus eines der drei
Winkel des Dreiecks her.
Sind a, b und c die Seiten eines Dreiecks und liegt der Winkel γ gegenüber der Seite c, dann gilt:
-
Für die beiden anderen Winkel gelten analoge Formeln:
-
Für γ = 90°, also ein rechtwinkliges Dreieck, ergibt sich als Spezialfall der
Satz des Pythagoras:
Die
Kongruenzsätze SSS und SWS besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von drei Seiten oder von zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel vollständig bestimmt ist. Der Kosinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken ein viertes Stück, nämlich einen Winkel (im Fall SSS) beziehungsweise die dritte Seite (im Fall SWS) zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man wahlweise nochmal den Kosinussatz (mit auf den gesuchten Winkel angepassten Seitenbezeichnungen) oder den
Sinussatz anwenden. Den letzten Winkel berechnet man am zweckmäßigsten über die
Winkelsumme von 180°.
Wenn nur eine Seite und zwei Winkel gegeben sind (Kongruenzsätze SWW oder WSW) oder zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite (Kongruenzsatz SsW), so berechnet man zunächst eines der fehlenden Stücke mit dem Sinussatz und den fehlenden Winkel über die Winkelsumme, bevor man mit dem Kosinussatz die dritte Seite bestimmen kann.
Beweis
Pythagoras:
aus
und
folgt
siehe auch: Kosinus, Sinus, Sinussatz, Satz des Pythagoras
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