Komplexe Differenzierbarkeit
Komplexe Differenzierbarkeit ist unter bestimmten Voraussetzungen für Funktionen f definiert, die komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abbilden.Komplexe Zahlen lassen sich in der Form z = (x,y) darstellen, mit reellen Zahlen x und y. Im Allgemeinen wird x als der Realteil, y als der Imaginärteil von z bezeichnet.
Eine komplexwertige Funktion f, die komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abbildet, kann daher im Sinne der reellen Analysis auch als Funktion aufgefaßt werden, die Elemente des zweidimensionalen reellen Zahlenraumes auf Elemente des zweidimensionalen reellen Zahlenraumes abbildet.
Für solche Funktionen kann die aus der Analysis bekannte reelle Differenzierbarkeit definiert sein. Komplexe und reelle Differenzierbarkeit können sich unterscheiden.
In der Funktionentheorie wird komplexe Differenzierbarkeit i.A. für solche Funktionen definiert, die offene Mengen auf offene Mengen abbilden:
U sei eine offene Teilmenge von , a ein Element aus U, f eine Abbildung von U in , dann heisst f komplex differenzierbar in a, wenn folgendes gilt:
Dabei wird vorausgesetzt, dass w und w + a in U liegen, also im Definitionsbereich von f. Der Limes auf der rechten Seite existiere für jedes a aus U, die linke Seite wird dann als f'(a) definiert. bezeichne die Menge der komplexen Zahlen.
Komplex differenzierbare Funktionen werden als holomorph (in älterer Literatur als analytisch) bezeichnet.
Man kann zeigen, dass die Funktion f', die man auf diese Weise erhält, wieder holomorph ist. f' heisst Ableitung von f.
Im Gegensatz zur reellen Differenzierbarkeit ist eine komplex differenzierbare Funktion beliebig oft differenzierbar, d.h. sie läßt sich immer in eine Taylorreihe ohne Restglied entwickeln (dabei müssen nicht alle Koeffizienten von Null verschieden sein).
Man kann zeigen, dass holomorphe Funktionen offene Abbildungen sind, d.h. sie bilden offene Mengen auf offene Mengen ab. Hieraus folgt, dass bijektive holomorphe Funktionen topologische Abbildungen sind (Homöomorphismen).
Beispiele für komplex differenzierbare Funktionen
Beispiele für nicht komplex differenzierbare Funktionen