Kommensurabilität
Allgemein heißen zwei Größen kommensurabel, wenn sie mit gleichem Maß messbar sind, oder wenn sie vergleichbar sind.In der Mathematik und der Physik heißen zwei Größen a und b kommensurabel (lat zusammen messbar), wenn sie ganzzahlige Vielfache einer dritten Größe c sind. Diese Bezeichnung kommt daher, dass man diese Größen mit einem gemeinsamen Maß c messen kann, indem man sie als ganze Vielfache von c darstellt. Sind zwei Größen nicht kommensurabel, dann sind sie inkommensurabel.
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Aus der Kommensurabilität zweier Größen a und b, die so notiert werden kann:
Mathematik
folgt, dass ihr Verhältnis eine rationale Zahl ist:
Beispiele
Kommensurabel sind 2 Zahlen, die mindestens einen ganzzahligen gemeinsamen Nenner haben.
Inkommensurabel sind somit 2 Zahlen die keinen ganzzahligen gemeinsamen Nenner haben.
- Bruch-Rechnung. 15 und 21 sind kommensurabel - der gemeinsame Nenner ist 3.
- Satz des Pythagoras. Beträgt die Länge der beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks 1, so ist die Länge der Hypotenuse √2 (die Quadratwurzel von 2). Das Verhältnis einer der Seiten zur Hypotenuse beträgt somit 1/√2 und die Seitenlängen sind inkommensurabel.
- Fünfstern. Das Verhältnis zwischen inneren (BC) und äusseren (AB) Strecken beim Fünfstern (Pentagramm, siehe auch Abbildung unter Goldener Schnitt). Es gibt keinen gemeinsamer Teiler und die Längen der Strecken sind inkommensurabel.
Physik
Physikalisch bezeichnet Inkommensurabilität die Unvergleichbarkeit von Stoffen mit Messwerten wegen fehlender, zum Vergleich geeigneter, Eigenschaften. Man kann beispielsweise die Steiffigkeit eines Festkörpers nicht mit der eines Gases vergleichen, weil ein Gas die Eigenschaft Steiffigkeit gar nicht besitzt. Gase und Festkörper sind in Bezug auf diese Eigenschaft inkommensurabel.
Philosophie
Der Wissenschaftsphilosoph Thomas S. Kuhn prägte den Begriff Inkommensurabel, indem er mit ihm den Zustand der völligen Unvereinbarkeit wissenschaftlicher Paradigmata und damit die Unfähigkeit zum Konsens widerstreitender Lehrmeinungen beschrieb.
Diese wissenschaftlichen Schulen seien sozusagen nicht auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Weshalb auf wissenschaftlicher Ebene keine Lösung des Konflikts existiert. In der Folge würde das neue Paradigma das alte ersetzen. Diesen Paradigmenwechsel nannte er Revolution. Thomas Kuhn greift mit diesen Überlegungen die zu seiner Zeit verbreitete Vorstellung einer sukkzessiv voranschreitenden und konvergenten Wissenschaft an. Seine Werk Die Struktur wissenschaftlicher Revolutionen (1969) wurde überwiegend positiv aufgenommen.
Als Beispiel nennt Kuhn unter vielen anderen die Revolution von der Newton'schen Physik zu relativistischen Physik Einsteins. Obwohl gewisse Gemeinsamkeiten bestünden, seien die Modelle in vielen Punkten inkommensurabel, weil wesentliche Elemente in keiner vergleichbaren Form vorlägen. So fänden z.B. die Raumkrümmungen oder die Maximalgeschwindigkeit Lichtgeschwindigkeit keine Entsprechung in der newtonschen Physik. Ein sanfter Übergang der einen Lehre in die andere sei somit nicht möglich gewesen.