Koch-Kurve<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve" title="Koch-Kurve">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Koch-Kurve</h1>Die <strong>Koch-Kurve</strong> oder <strong>kochsche Kurve</strong> ist eine von dem schwedischen <A HREF="../../m/ma/mathematiker.html" title="Mathematiker">Mathematiker</A> <A HREF="../../h/he/helge_von_koch.html" title="Helge von Koch">Helge von Koch</A> erstmals <A HREF="../../1/19/1904.html" title="1904">1904</A> vorgestellte <A HREF="../../w/we/weg__mathematik_.html" title="Weg (Mathematik)">Kurve</A>. Es handelt sich bei ihr um eines der ersten formal beschriebenen <A HREF="../../f/fr/fraktal.html" title="Fraktal">fraktalen</A> Objekte. Die Koch-Kurve ist eins der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht.<p> <p><table border="0" id="toc"><tr><td align="center"> <b>Table of contents</b> <script type='text/javascript'>showTocToggle("show","hide")</script></td></tr><tr id='tocinside'><td align="left"> <div style="margin-left:2em;"> </div> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Konstruktion">1 Konstruktion</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#Graphische Darstellung der Konstruktion">1.1 Graphische Darstellung der Konstruktion</A><BR> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Eigenschaften">2 Eigenschaften</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Kochsche Schneeflocke">3 Kochsche Schneeflocke</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Programmierbeispiel">4 Programmierbeispiel</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Erstveröffentlichungen">5 Erstveröffentlichungen</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Weblinks">6 Weblinks</A><BR> </td></tr></table><P> <A NAME="Konstruktion"><H2>Konstruktion</H2><p> Man kann die Kurve anschaulich mittels eines iterativen Prozesses konstruieren. Zu Beginn besteht die Kurve aus einem einzigen Streckenstück.<p> Die Iteration besteht nun darin, dass alle Streckenabschnitte der Kurve<p> <ol><li> in drei gleichlange Abschnitte unterteilt werden, </li><li> auf dem jeweils mittleren Abschnitt ein gleichseitiges Dreieck errichtet wird, und </li><li> die Basis dieses Dreiecks und damit der ursprüngliche mittlere Steckenabschnitt entfernt wird.<p> </li></ol>Diese Iteration wird nun beliebig oft wiederholt, wobei die Dreiecke stets zur selben Seite der Kurve hin zu errichten sind. Auf diese Weise ergibt sich eine <A HREF="../../f/fo/folge__mathematik_.html" title="Folge (Mathematik)">Folge</A> von Streckenzügen, die gegen die Koch-Kurve strebt.<p> <A NAME="Graphische Darstellung der Konstruktion"><H3>Graphische Darstellung der Konstruktion</H3><p> Anfangskurve:<p> <pre>______________________________________________________<p> </pre> 1. Iteration: <pre> /\\ / \\ / \\ / \\ / \\ / \\ / \\ / \\ __________________/ \\__________________<p> </pre> 2. Iteration: <pre> /\\ / \\ ______/ \\______ \\ / \\ / \\ / /\\ / \\ /\\ / \\ / \\ / \\ ______/ \\______/ \\______/ \\______<p> </pre> 3. Iteration:<p> <pre> __/\\__ \\ / __/\\__/ \\__/\\__ \\ / /_ _\\ \\ / __/\\__ __/ \\__ __/\\__ \\ / \\ / \\ / __/\\__/ \\__/\\__/ \\__/\\__/ \\__/\\__<p> </pre> Nach fünf Iterationen:<p> <p> Der <A HREF="../../g/gr/grenzwert.html" title="Grenzwert">Grenzwert</A> dieser Iteration, die eigentliche Koch-Kurve, ist in gewissem Sinne unendlich fein strukturiert und kann daher nur näherungesweise graphisch dargestellt werden.<p> Dieses Konstruktionsprinzip, bei dem iterativ jede Teilstrecke durch einen Streckenzug ersetzt wird, lässt sich auch für die Erzeugung anderer fraktaler Kurven verwenden. So wird es beispielsweise bei der <A HREF="../../d/dr/drachenkurve.html" title="Drachenkurve">Drachenkurve</A> eingesetzt.<p> Das Konstruktionsprinzip ist eng verwandt mit dem für die Erzeugung der <A HREF="../../c/ca/cantor_menge.html" title="Cantor-Menge">Cantor-Menge</A>, die man erhält, wenn man das mittlere Drittel der Strecke nicht ersetzt sondern entfernt.<p> <A NAME="Eigenschaften"><H2>Eigenschaften</H2><p> <ul><li>Die Koch-Kurve ist nach ihrer Konstruktionsvorschrift streng <A HREF="../../s/se/selbsta_hnlichkeit.html" title="Selbstähnlichkeit">selbstähnlich</A>, das heißt es erscheinen bei beliebiger Vergrößerung immer wieder die gleichen Strukturen.<p> </li><li>Die Länge der Kurve ist unbegrenzt, da der Streckenzug bei jedem Iterationsschritt um den Faktor 4/3 länger wird. Nach dem <em>n</em>-ten Iterationsschritt ist die Kurvenlänge auf das (4/3)<sup><em>n</em></sup>-fache angewachsen.<p> </li><li>Die Kurve ist überall <A HREF="../../s/st/stetigkeit.html" title="Stetigkeit">stetig</A>, aber nirgends <A HREF="../../d/di/differenzialrechnung.html" title="Differenzialrechnung">differenzierbar</A>.<p> </li><li>Sie hat eine <A HREF="../../h/ha/hausdorff_dimension.html" title="Hausdorff-Dimension">Hausdorffdimension</A> von <dl><dd><dl><dd></li></ul> <p> </dd></dl></dd></dl><A NAME="Kochsche Schneeflocke"><H2>Kochsche Schneeflocke</H2> <br> Beginnt man den Ersetzungsprozess der Koch-Kurve nicht mit einer Strecke, sondern mit einem gleichseitigen Dreieck, dann erhält man die <strong>kochsche Schneeflocke</strong>. Sie besteht aus drei Koch-Kurven und schließt trotz ihrer unendlichen Länge nur einen endlichen Bereich der Ebene ein.<p> <A NAME="Programmierbeispiel"><H2>Programmierbeispiel</H2><p> Ein Programm in <A HREF="../../l/lo/logo__programmiersprache_.html" title="Logo (Programmiersprache)">Logo</A> zur Erzeugung einer Koch-Kurve mit <em>:stufe</em> Iterationsschritten lautet: <pre> <pre>to kurve :stufe :laenge make "stufe :stufe - 1 make "laenge :laenge / 3 if :stufe > 0 [kurve :stufe :laenge rt 60 kurve :stufe :laenge lt 120 kurve :stufe :laenge rt 60 kurve :stufe :laenge] if :stufe = 0 [fd :laenge rt 60 fd :laenge lt 120 fd :laenge rt 60 fd :laenge] end </pre></pre><p> Die Schneeflocke kann durch folgendes Programm approximiert werden:<p> <pre> <pre>to flocke :stufe :laenge repeat 3 [koch :stufe :laenge lt 120] end </pre></pre><p> <A NAME="Erstveröffentlichungen"><H2>Erstveröffentlichungen</H2><p> <ul><li> <A HREF="../../h/he/helge_von_koch.html" title="Helge von Koch">Helge von Koch</A>, <em>Une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géometrique élémentaire.</em> Arkiv för Matematik 1 (1904) 681-704. </li><li> Helge von Koch, <em>Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes.</em> Acta Mathematica 30 (1906) 145-174.<p> </li></ul><A NAME="Weblinks"><H2>Weblinks</H2><p> <ul><li> <A HREF="http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/vonKochCurve.htm" class="external">http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/vonKochCurve.htm</A> - Weitergehende Darstellungen </li><li> <A HREF="http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Koch.html" class="external">http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Koch.html</A> - Helge von Kochs Biographie </li><li> <A HREF="http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html" class="external">http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html</A> - vielfältige fraktale Flocken<p> </li></ul><p> <p> <small>Dieser Artikel befindet sich derzeit im Reviewprozess. 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