Koch-Kurve
Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist eine von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch erstmals 1904 vorgestellte Kurve. Es handelt sich bei ihr um eines der ersten formal beschriebenen fraktalen Objekte. Die Koch-Kurve ist eins der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht.
| Table of contents |
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2 Eigenschaften 3 Kochsche Schneeflocke 4 Programmierbeispiel 5 Erstveröffentlichungen 6 Weblinks |
Man kann die Kurve anschaulich mittels eines iterativen Prozesses konstruieren. Zu Beginn besteht die Kurve aus einem einzigen Streckenstück.
Die Iteration besteht nun darin, dass alle Streckenabschnitte der Kurve
Konstruktion
Diese Iteration wird nun beliebig oft wiederholt, wobei die Dreiecke stets zur selben Seite der Kurve hin zu errichten sind. Auf diese Weise ergibt sich eine Folge von Streckenzügen, die gegen die Koch-Kurve strebt.
Anfangskurve:
Der Grenzwert dieser Iteration, die eigentliche Koch-Kurve, ist in gewissem Sinne unendlich fein strukturiert und kann daher nur näherungesweise graphisch dargestellt werden.
Dieses Konstruktionsprinzip, bei dem iterativ jede Teilstrecke durch einen Streckenzug ersetzt wird, lässt sich auch für die Erzeugung anderer fraktaler Kurven verwenden. So wird es beispielsweise bei der Drachenkurve eingesetzt.
Das Konstruktionsprinzip ist eng verwandt mit dem für die Erzeugung der Cantor-Menge, die man erhält, wenn man das mittlere Drittel der Strecke nicht ersetzt sondern entfernt.
Ein Programm in Logo zur Erzeugung einer Koch-Kurve mit :stufe Iterationsschritten lautet:
Die Schneeflocke kann durch folgendes Programm approximiert werden:
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1. Iteration:
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2. Iteration:
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3. Iteration: __/\\__
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Nach fünf Iterationen:Eigenschaften
Kochsche Schneeflocke
Beginnt man den Ersetzungsprozess der Koch-Kurve nicht mit einer Strecke, sondern mit einem gleichseitigen Dreieck, dann erhält man die kochsche Schneeflocke. Sie besteht aus drei Koch-Kurven und schließt trotz ihrer unendlichen Länge nur einen endlichen Bereich der Ebene ein.Programmierbeispiel
to kurve :stufe :laenge
make "stufe :stufe - 1
make "laenge :laenge / 3
if :stufe > 0 [kurve :stufe :laenge rt 60 kurve :stufe :laenge lt 120 kurve :stufe :laenge rt 60 kurve :stufe :laenge]
if :stufe = 0 [fd :laenge rt 60 fd :laenge lt 120 fd :laenge rt 60 fd :laenge]
end
to flocke :stufe :laenge
repeat 3 [koch :stufe :laenge lt 120]
end
Erstveröffentlichungen
Weblinks