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Koch-Kurve



Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist eine von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch erstmals 1904 vorgestellte Kurve. Es handelt sich bei ihr um eines der ersten formal beschriebenen fraktalen Objekte. Die Koch-Kurve ist eins der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht.

Table of contents
1 Konstruktion
2 Eigenschaften
3 Kochsche Schneeflocke
4 Programmierbeispiel
5 Erstveröffentlichungen
6 Weblinks

Konstruktion

Man kann die Kurve anschaulich mittels eines iterativen Prozesses konstruieren. Zu Beginn besteht die Kurve aus einem einzigen Streckenstück.

Die Iteration besteht nun darin, dass alle Streckenabschnitte der Kurve

  1. in drei gleichlange Abschnitte unterteilt werden,
  2. auf dem jeweils mittleren Abschnitt ein gleichseitiges Dreieck errichtet wird, und
  3. die Basis dieses Dreiecks und damit der ursprüngliche mittlere Steckenabschnitt entfernt wird.

Diese Iteration wird nun beliebig oft wiederholt, wobei die Dreiecke stets zur selben Seite der Kurve hin zu errichten sind. Auf diese Weise ergibt sich eine Folge von Streckenzügen, die gegen die Koch-Kurve strebt.

Graphische Darstellung der Konstruktion

Anfangskurve:

______________________________________________________

1. Iteration:
                           
                          /\\
                         /  \\
                        /    \\
                       /      \\
                      /        \\
                     /          \\
                    /            \\
                   /              \\
__________________/                \\__________________

2. Iteration:
                          /\\
                         /  \\
                  ______/    \\______
                  \\                /
                   \\              /
                    \\            /
        /\\          /            \\          /\\        
       /  \\        /              \\        /  \\       
______/    \\______/                \\______/    \\______

3. Iteration:

                        __/\\__
                        \\    /
                  __/\\__/    \\__/\\__
                  \\                /
                  /_              _\\
                    \\            /
      __/\\__      __/            \\__      __/\\__      
      \\    /      \\                /      \\    /      
__/\\__/    \\__/\\__/                \\__/\\__/    \\__/\\__

Nach fünf Iterationen:

Der Grenzwert dieser Iteration, die eigentliche Koch-Kurve, ist in gewissem Sinne unendlich fein strukturiert und kann daher nur näherungesweise graphisch dargestellt werden.

Dieses Konstruktionsprinzip, bei dem iterativ jede Teilstrecke durch einen Streckenzug ersetzt wird, lässt sich auch für die Erzeugung anderer fraktaler Kurven verwenden. So wird es beispielsweise bei der Drachenkurve eingesetzt.

Das Konstruktionsprinzip ist eng verwandt mit dem für die Erzeugung der Cantor-Menge, die man erhält, wenn man das mittlere Drittel der Strecke nicht ersetzt sondern entfernt.

Eigenschaften

Kochsche Schneeflocke


Beginnt man den Ersetzungsprozess der Koch-Kurve nicht mit einer Strecke, sondern mit einem gleichseitigen Dreieck, dann erhält man die kochsche Schneeflocke. Sie besteht aus drei Koch-Kurven und schließt trotz ihrer unendlichen Länge nur einen endlichen Bereich der Ebene ein.

Programmierbeispiel

Ein Programm in Logo zur Erzeugung einer Koch-Kurve mit :stufe Iterationsschritten lautet:

to kurve :stufe :laenge
make "stufe :stufe - 1
make "laenge :laenge / 3
if :stufe > 0 [kurve :stufe :laenge rt 60 kurve :stufe :laenge lt 120 kurve :stufe :laenge rt 60 kurve :stufe :laenge]
if :stufe = 0 [fd :laenge rt 60 fd :laenge lt 120 fd :laenge rt 60 fd :laenge]
end

Die Schneeflocke kann durch folgendes Programm approximiert werden:

to flocke :stufe :laenge
repeat 3 [koch :stufe :laenge lt 120]
end

Erstveröffentlichungen

Weblinks

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