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Intuitionismus



Der Intuitionismus (eine Art des Konstruktivismus) ist eine Denkrichtung in der mathematischen Logik, bei der jedes mathematische Objekt angesehen wird als Konstruktion des Bewusstseins, deshalb ist die Möglichkeit seiner Existenz äquivalent zur Möglichkeit seiner Konstruktion. Aus diesem Grund lehnt der Intuitionismus das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten (tertium non datur) ab, das in klassischen Logik Widerspruchsbeweise ermöglicht, d.h. man beweist eine Tatsache, indem man ihr Gegenteil widerlegt. Für den Intuitionismus ist ein solcher Beweis nicht zulässig, da die Widerlegung der Nichtexistenz nicht bedeutet, dass man ein existierendes Objekt konstruieren kann, bzw. die Existenz konstruktiv beweisen kann.

In der Mathematik des Endlichen gibt es keine Unterschiede, da hier das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten immer durch Aufzählung aller Fälle angewendet werden kann.

Der Intuitionismus ist eine Form des Konstruktivismus, aber nicht die einzige.

Der Intuitionismus betrachtet einen mathematischen Satzes als zulässig genau dann, wenn er bewiesen ist. Was für ein Wahrheitskriterium sollte sonst gelten, wenn mathematische Objekte nur geistige Konstruktionen sind?

Das heißt, ein Intuitionist betrachtet einen mathematischen Satz anders als ein Vertreter der "klassischen" Mathematik. A oder B heißt für einen Intuitionisten, dass A oder B bewiesen werden kann. Speziell ist dadurch der Satz vom Ausgeschlossenen Dritten verboten, weil man nicht annehmen kann, dass es immer möglich ist, entweder A oder seine Negation zu beweisen.

Der Intuitionismus lehnt auch den Begriff der aktuellen Unendlichkeit ab. Im Intuitionismus gibt es deshalb auch keine aktual unendlichen Mengen, wie die Menge aller natürlichen Zahlen. Aus diesem Grund müssen die meisten Gesetze der Mengenlehre neu betrachtet und rekonstruiert werden, da sie zu Theorien führen, die sich von der klassischen Mathematik stark unterscheiden.

Mathematiker, die zum Intuitionismus beigetragen haben, sind Luitzen Egbertus Jan Brouwer, Arend Heyting und Stephen Kleene.




     
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