Hookesches Gesetz
Das Hookesche Gesetz (nach Sir Robert Hooke) besagt, dass eine elastische Deformation eines Körpers proportional zur anliegenden Spannung ist. Im allgemeinen Fall wird das Hookesche Gesetz ausgedrückt durch die lineare Tensorgleichung- ,
Das Hookesche Gesetz gilt nur für lineare elastische Deformationen. Diese Bedingung ist in der Regel für kleine Deformationen erfüllt. Bei Deformationen oberhalb der so genannten Proportionalitätsgrenze werden die Verformungen nicht-linear, d.h. die Verzerrung ist nicht mehr proportional zur Verspannung , die Verformung kann aber dennoch reversibel sein. Erst für noch größere Deformationen wird die Verformung irreversibel (plastische Deformation), und es findet keine vollständige Rückformung beim Nachlassen der Spannung statt.
Table of contents |
2 Isotrope Medien 3 Vereinfachtes Hookesches Gesetz |
Die allgemeine Form des Hookeschen Gesetzes als lineare Tensorgleichung mit dem Elastizitätstensor (4. Stufe!) mit 81 Komponenten ist schwierig zu handhaben.
Aufgrund der Symmetrie von Verzerrungs- und Spannungstensor reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten jedoch auf 36. Damit lässt sich das hookesche Gesetz in eine einfacher zu handhabende Matrixgleichung überführen, wobei die Elastischen Konstanten in einer -Matrix, sowie die Verzerrung und die Verspannung als sechskomponentige Vektoren dargestellt werden (Voigtsche Notation):
Die maximal sechs unabhängigen der beiden symmetrischen Tensoren für Dehnung und Spannung werden häufig in der folgenden Weise auf zwei sechskomponentige Vektoren verteilt:
Im Spezialfall isotroper Medien reduziert sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten von 21 auf 2. Wesentliche Eigenschaften der Deformation lassen sich dann durch die Querkontraktionszahl charakterisieren. Das Hookesche Gesetz lässt sich dann darstellen in der Form
Das hookesche Gesetz gilt für einen großen Dehnungsbereich bei Zug- und Druckfedern. In diesem Spezialfall einer eindimensionalen linearen elastischen Deformation vereinfacht sich der Elastizitätsmodul zur Federkonstante , die Verzerrung des Körpers zu seiner relativen Längenänderung und statt der mechanischen Spannung (Kraft pro Angriffsfläche) kann direkt die angelegte Kraft angegeben werden. Das hookesche Gesetz kann dann in der einfachen Form
Verallgemeinertes Hookesches Gesetz
Aus energetischen Überlegungen ergibt sich, dass auch diese -Matrix symmetrisch ist. Die Anzahl der unabhängigen (elastische Konstanten) reduziert sich damit weiter auf maximal 21.
also
und analog
Der Faktor ist notwendig, um Übereinstimmung zwischen der hier eingeführten Matrix/Vektor-Darstellung Tensorgleichung und der Tensorgleichung herzustellen. (Statt bei den Vektordarstellungn von sowohl Verzerrung als auch Verspannung kann auch der Faktor 2 bei nur einem der beiden Vektoren verwendet werden.)Isotrope Medien
wobei E das Elastizitätsmodul (auch Youngsmodul) und die Querkontraktionszahl sind. Beide sind vom Werkstoff bestimmt. Für eindimensionale Deformationen vereinfacht sich die Beziehung zu
Vereinfachtes Hookesches Gesetz
als eine lineare Relation zwischen der angelegten Kraft und der daraus resultierenden Längenänderung dargestellt werden. Bei Berechnung der rücktreibenden Kraft kehrt sich das Vorzeichen um ().