Hilberts Nullstellensatz
Der Hilbertsche Nullstellensatz stellt in der Mathematik in der algebraischen Geometrie die zentrale Verbindung zwischen Idealen und affinen Varietäten her. Er wurde von David Hilbert bewiesen. Die Aussage lautet:
''Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein Ideal in dann gilt: ''
Hierbei bedeutet das Radikal von , sowie die Menge aller gemeinsamen Nullstellen von , und das Ideal aller Polynome, die auf verschwinden.
Die Inklusion ist dabei trivial, denn jede Nullstelle von ist auch Nullstelle von .
Der Hilbertsche Nullstellensatz liefert also eine 1-1 Beziehung (Bijektion) zwischen affine Varietäten und radikalen Idealen (Idealen, die mit ihrem Radikal übereinstimmen). Dass dies nur für radikale Ideale gilt, zeigt ein einfaches Beispiel: .
Neben dieser geometrischen Variante ist auch noch der damit eng zusammenhängende Hilbertsche Nullstellensatz der Körpertheorie bekannt. Diese, auch als Schwacher Nullstellensatz bekannte Aussage, lautet:
Sei ein Körper, eine endliche Ringerweiterung. Ist ein Körper, so sind alle algebraisch über .
Insbesondere folgt daraus, dass jede endliche Körpererweiterung eines algebraisch abgeschlossenen Körpers , wieder mit identifiziert werden kann.