Hessesche Normalform
Die Hessesche Normalform (nach Otto Hesse) ist eine Gleichung, die eine Ebene im Euklidischen Raum R3 beschreibt:Wenn in einem gegebenen Koordinatensystem der Ortsvektor eines Punktes P aus der Ebene E ist (kurz: ), dann gilt
- der normierte Normalenvektor von E und
- d der Abstand der Ebene vom Ursprung des Koordinatensystems.
Table of contents |
2 Berechnung aus drei Ortsvektoren über ein Gleichungssystem 3 Berechnung über das Kreuzprodukt 4 Verallgemeinerung |
In der Normalgleichung
Herleitung / Berechnung aus der Normalgleichung
ist die Ebene durch den Normalenvektor sowie einen beliebigen Ortsvektor eines Punktes gegeben. Indem man durch seinen Betrag dividiert, erhält man den normierten Normalenvektor
- .
- .
d ist hierin den Abstand vom Ursprung, denn da für jeden Punkt der Ebene gilt, gilt es insbesondere auch für den Punkt Q mit . Dann ist nach Definition des Skalarproduktes
- .
Hat man 3 Ortsvektoren x1, x2 und x3 von Punkten der Ebene gegeben (die nicht auf einer Geraden liegen) und will daraus die Hessesche Normalform berechnen, wertet man die folgenden Gleichungen aus:
,
,
.
Zu lösen ist:
Ein anderer Weg zur Berechnung des Normalenvektors führt über das Kreuzprodukt. Man erhält in diesem Falle ein eindeutiges Ergebnis
Die Hessesche Normalform (nicht aber die Berechnung über das Kreuzprodukt) kann man ganz allgemein zur Beschreibung (n-1)-dimensionaler Hyperebenen im n-dimensionalen Raum verwenden.
siehe auch: Jordansche Normalform, GeradengleichungBerechnung aus drei Ortsvektoren über ein Gleichungssystem
Die dritte Gleichung ist redundant. Das Gleichungssystem ist daher erst lösbar, indem man als zusätzliche Bedingung die Normiertheit
also
verlangt. Einfacher ist es, den übrig behaltenen Freiheitsgrad, nämlich den Betrag (-Norm) des Vektors , zunächst beliebig zu wählen und dann zu normieren, indem man durch dividiert.Beispiel
Lösung:
Hessesche Normalform:Berechnung über das Kreuzprodukt
wobei man aber auch hier i.A. noch normieren muss:
Aus
ergibt sich schließlich wieder der Abstand der Ebene zum Nullpunkt. Diese Abstandsberechnung ist ein wichtiges Anwendungsgebiet der Hesseschen Normalform.Verallgemeinerung