Hermitesches Polynom
Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind die partikulären Lösungen, d.h. jeweils zu einem festen n, der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:
Eine mögliche Darstellung ist
Die ersten drei lauten explizit
Die Folgenden lassen sich einfach nach dieser Rekursionsformel berechnen:
Daran sieht man schnell, dass ein Polynom von Grade n ist, denn zur höchsten Potenz von x wird immer ein weiteres x multipliziert.
Die Hermiteschen Polynome erfüllen eine Orthogonalitätsrelation
Das heißt, dass bestimmte Funktionen von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.
Orthogonal
Ihre Bedeutung erhalten sie durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des
quantenmechanischen
harmonischen Oszillators benötigt.
Diese entsprechen den Hermite'schen Funktionen, die man
durch Multiplikation mit der Gauß'schen Normalverteilung
und geeigneter Normierung erhält.