Heaviside-Funktion
Die Heaviside-Funktion,
auch Theta-,Treppen- oder Sprungfunktion genannt, ist eine oft verwendete Funktion in der Mathematik. Die Heaviside-Funktion ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850-1925) benannt.
Setzt man eine beliebige negative Zahl oder aber Null für x ein, so ergibt sich der Wert Null, andernfalls der Wert Eins. Mathematisch formuliert heißt das:
Der Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle
x=0 kann man unterschiedlich definieren:
Manchmal bleibt sie für
x=0 einfach undefiniert, oder man setzt θ(0) = 1/2 damit die Relation
- und damit auch
- gilt.
Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme des Punktes
x=0 überall stetig. Bei
x=0 ist ihre
Steigung unendlich. Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der
Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter:
Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von
x=0 den Wert Null hat, rechts davon aber mit der Ursprungsfunktion übereinstimmt.
Die Ableitung der Heaviside-Funktion ist die Diracsche Delta-Funktion, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.