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Harmonischer Oszillator



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Allgemeines

Ein harmonischer Oszillator ist ein physikalisches Modellsystem mit parabolischem Potential, dessen rücktreibende Kraft bei einer Auslenkung aus der Ruhelage linear in also harmonisch ist. Das Potential des harmonischen Oszillators wird meist harmonisches Potential genannt.

In vielen Bereichen der theoretischen Physik nimmt der harmonische Oszillator einen paradigmatischen Stellenwert ein, da er eines der wenigen nichttrivialen exakt lösbaren Modelle darstellt und zudem fast alle schwingenden Systeme in niedrigster, d.h. quadratischer Näherung des Potentials um den Gleichgewichtspunkt einem harmonischen Oszillator entsprechen.

klassische Mechanik

Die zeitliche Bewegungsdynamik eines harmonischen Oszillators bezeichnet man als harmonische Schwingung. Man erhält sie mathematisch als Lösung der zugehörigen Newtonschen Bewegungsgleichung.

Beispiele sind

statistische Physik

In der statistischen Physik führen harmonische Potentiale auch zu exakt lösbaren Modellen. Beispiele hierfür sind

Quantenmechanik

Das Einsetzen des harmonischen Potentials in die Schrödingergleichung führt zu diskreten Energieeigenwerten:

Dabei ist das Plancksche Wirkungsquantum, die Eigenfrequenz des Oszillators und n eine natürliche Zahl, also n = 0 , 1 , 2 , ....

Dies hat zwei fundamentale Folgen:

  1. Der harmonische Oszillator kann nicht mehr beliebige Energiemengen aufnehmen, sondern nur noch ganzzahlige Vielfache von .
  2. Der niedrigste Energiezustand (n = 0) hat nicht die Energie Null, sondern

Da die Wellenfunktion bei dieser Energie bereits eine gewisse Breite hat, ist der Ort nicht genau bestimmt (siehe dazu auch Unschärferelation bzw. Nullpunktsschwingung). Die allgemeinen Lösungsfunktionen sind die entsprechend normierten Hermiteschen Funktionen.

Anwendungsbeispiele:




     
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