Harmonische Schwingung
Eine harmonische Schwingung zeichnet sich dadurch aus, dass die Zeitabhängigkeit ihrer veränderlichen Zustandsgrößen sinusförmig ist. Zugleich ist ihre Schwingungsdauer T bzw. Frequenz f unabhängig von der Amplitude. Diese Form der Schwingung entsteht in einfachen linearen Systemen ohne Dämpfung.
Table of contents |
2 Oszillator und Reibung 3 Pendelschwingung und Sekundenpendel |
Ein Beispiel ist das Feder-Masse-Pendel. Ein Körper der Masse m ist an einer Feder mit der Federkonstante D befestigt. Lenkt man den Körper um das Stück y aus der Ruhelage aus, so wird die Feder gedehnt bzw. gestaucht und übt auf den Körper eine Kraft F aus, die sich gemäß dem Hookeschen Gesetz zu
Vertikale Schwingung an einer Feder
berechnet, also proportional zu y ist. Die Kraft wirkt beschleunigend auf den Körper, wobei nach Newtonss Kraftgesetz für die Beschleunigung a die Beziehung
- a = F/m
- a = F/m
- a = d2y(t)/dt2 .
- a = d2y(t)/dt2 .
- d2y(t)/dt2 = - D/m · y(t) ,
- d2y(t)/dt2 = - D/m · y(t) ,
- y(t) = y0 · sin(2πf · t)
- y(t) = y0 · sin(2πf · t)
Oszillator und Reibung
Das schwingende Federpendel stellt einen Oszillator dar, in dem fortwährend Energie zwischen den Formen elastische Energie (Dehnung oder Stauchung der Feder) und kinetische Energie (Bewegungsenergie der Masse) ausgetauscht wird.
- d2y(t)/dt2 = - D · y(t) + FR .
- d2y(t)/dt2 = - D · y(t) + FR .
- FR = - k · sign(y(t)).
- FR = - k · sign(y(t)).
- FR = - k · dy(t)/dt .
- FR = - k · dy(t)/dt .
Bei einem idealen und reibungsfreien System bleibt die Amplitude der Schwingung konstant. Dies ist durch ein langes, schweres Pendel nahezu realisierbar, weshalb man schon früh die Schwerkraft mit exakt gefertigten Pendeln gemessen hat. Durch diese Gravimetrie und durch Gradmessung wurde im 18. Jahrhundert die Form der Erde bestimmt, aus der das Meter definiert wurde.
Auch das Sekundenpendel leitet sich daraus ab, das je nach Schwerkraft eine Länge von rund 1m hat. Bei einer genauen Pendeluhr wird die Amplitude durch eine spezielle Mechanik (das Steigrad) konstant gehalten, wodurch auch die Schwingungsdauer stabil bleibt. Sie hängt mit der Pendellänge L und der Schwerkraft g über die Formel
Pendelschwingung und Sekundenpendel
zusammen.
Einflüsse von außen kann man klein halten, indem das Pendel im Vakuum schwingt und gegen Temperatureffekte kompensiert ist. Dadurch ließen sich schon im 19. Jahrhundert Genauigkeiten besser als 0.1 Sekunde pro Tag erreichen, die erst um 1950 von Quarzuhren übertroffen wurden.
siehe auch: Harmonischer Oszillator