WEB LEXIKON: Ein Blick zurück
Hauptseite | Aktueller Wikipedia-Artikel

Harmonische Schwingung



Eine harmonische Schwingung zeichnet sich dadurch aus, dass die Zeitabhängigkeit ihrer veränderlichen Zustandsgrößen sinusförmig ist. Zugleich ist ihre Schwingungsdauer T bzw. Frequenz f unabhängig von der Amplitude. Diese Form der Schwingung entsteht in einfachen linearen Systemen ohne Dämpfung.

Table of contents
1 Vertikale Schwingung an einer Feder
2 Oszillator und Reibung
3 Pendelschwingung und Sekundenpendel

Vertikale Schwingung an einer Feder

Ein Beispiel ist das Feder-Masse-Pendel. Ein Körper der Masse m ist an einer Feder mit der Federkonstante D befestigt. Lenkt man den Körper um das Stück y aus der Ruhelage aus, so wird die Feder gedehnt bzw. gestaucht und übt auf den Körper eine Kraft F aus, die sich gemäß dem Hookeschen Gesetz zu

F = - D · y

berechnet, also proportional zu y ist. Die Kraft wirkt beschleunigend auf den Körper, wobei nach Newtonss Kraftgesetz für die Beschleunigung a die Beziehung

a = F/m

gilt. Nun ist die Beschleunigung die zweite Ableitung der Elongation nach der Zeit:

a = d2y(t)/dt2 .

Durch Einsetzen ergibt sich hieraus für y(t) die Differentialgleichung

d2y(t)/dt2 = - D/m · y(t) ,

die z.B. durch

y(t) = y0 · sin(2πf · t)

gelöst wird. Darin ist y0 die Amplitude und f = 1/ √(D/m) die Frequenz. Die Auslenkung y(t) wird auch als Elongation bezeichnet.

Oszillator und Reibung

Das schwingende Federpendel stellt einen Oszillator dar, in dem fortwährend Energie zwischen den Formen elastische Energie (Dehnung oder Stauchung der Feder) und kinetische Energie (Bewegungsenergie der Masse) ausgetauscht wird.

Normalerweise ist die Schwingung nicht reibungsfrei, d.h. durch Reibung wird dem System Energie entzogen; die Amplitude nimmt im Laufe der Zeit ab. In der Differentialgleichung tritt dann zur beschleunigenden Kraft F eine Reibungskraft FR hinzu:

d2y(t)/dt2 = - D · y(t) + FR .

Der genaue Ausdruck für FR hängt von der Art der Reibung ab. Im Falle trockener Reibung (z.B. Gleitreibung) ist FR konstant, aber vom Vorzeichen der Elongation abhängig,

FR = - k · sign(y(t)).

Im Falle dynamischer Reibung (z.B. innere Reibung bei elastischer Verformung) ist FR proportional zur Geschwindigkeit, also zur ersten zeitlichen Ableitung der Elongation:

FR = - k · dy(t)/dt .

Die entsprechenden Lösungen der Differentialgleichung führen dann zu einer Schwingung mit linear bzw. exponentiell abnehmender Amplitude. Da die Amplitude sich mit der Zeit verändert, handelt es sich nicht um eine harmonische Schwingung im engeren Sinne, bei der die Amplitude konstant bleibt.

Pendelschwingung und Sekundenpendel

Bei einem idealen und reibungsfreien System bleibt die Amplitude der Schwingung konstant. Dies ist durch ein langes, schweres Pendel nahezu realisierbar, weshalb man schon früh die Schwerkraft mit exakt gefertigten Pendeln gemessen hat. Durch diese Gravimetrie und durch Gradmessung wurde im 18. Jahrhundert die Form der Erde bestimmt, aus der das Meter definiert wurde.

Auch das Sekundenpendel leitet sich daraus ab, das je nach Schwerkraft eine Länge von rund 1m hat. Bei einer genauen Pendeluhr wird die Amplitude durch eine spezielle Mechanik (das Steigrad) konstant gehalten, wodurch auch die Schwingungsdauer stabil bleibt. Sie hängt mit der Pendellänge L und der Schwerkraft g über die Formel

zusammen.

Einflüsse von außen kann man klein halten, indem das Pendel im Vakuum schwingt und gegen Temperatureffekte kompensiert ist. Dadurch ließen sich schon im 19. Jahrhundert Genauigkeiten besser als 0.1 Sekunde pro Tag erreichen, die erst um 1950 von Quarzuhren übertroffen wurden.

siehe auch: Harmonischer Oszillator




     
Das Web Lexikon "Ein Blick zurück" bietet die Moeglichkeit auf einfache Art und Weise in den "alten" Wikipedia-Beiträgen zu blättern. Das Lexikon spiegelt den Stand der freien Wikipedia-Enzyklopädie vom August 2004 wider. Sie finden hier in rund 120.000 Artikel aus dieser Zeit Informationen, Erklärungen, Definitionen, Empfehlungen, Beschreibungen, Auskünfte und Bilder. Ebenso kommen Begriffserklärung, Zusammenfassung, Theorie, Information, Beschreibung, Erklärung, Definition und Geschichte nicht zu kurz. Ein Lexikon das Auskunft, Bericht, Hinweis, Bedeutung, Bild, Aufklärung, Darstellung und Schilderung zu unterschiedlichsten Themen kompakt auf einer Seite bietet.
Impressum ^ nach oben ^