Höhensatz
Der Höhensatz ist ein Satz der Geometrie. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnittennabschnitten ist.
Die farbigen Figuren sind flächengleich
In mathematischer Sprache lautet der Höhensatz:
- Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h, die die Hypotenuse in die Abschnitte p und q teilt. Dann ist
- Gilt der Höhensatz in einem Dreieck, so ist dieses Dreieck rechtwinklig.
Table of contents |
2 (Algebraischer) Beweis mit dem Satz des Pythagoras 3 Scherungsbeweis |
Ergänzungsbeweis
Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, falls die Kathetenn gleich sind (der eingeschlossene Winkel ist ja auch gleich).
Teilt man ein rechtwinkliges Dreieck an der Höhe h in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten p und h bzw. q und h (gelbes und rotes Dreieck im Diagramm), so kann man diese an ein Quadrat mit der Seitenlänge h (im Diagramm unten links) und an ein Rechteck mit den Seiten p und q anlegen (im Diagramm unten rechts).
In beiden Fällen entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten p+h und q+h. Das rechte und linke Dreieck sind also kongruent. Das erste besteht aber aus dem gelben und roten Dreieck und dem Quadrat h², das zweite aus den beiden Dreiecken und dem Rechteck pq. Die Fläche des Quadrats muss daher gleich der Fläche des Rechtecks sein, also h²=pq.
Der Beweis kann mit dem Satz des Pythagoras und der Binomischen Formel geführt werden.
Im Diagramm erkennt man drei rechtwinklige Dreiecke, eines mit den Seiten a,b,c, dann noch jeweils eines mit h,p,a und h,q,b. Für jedes dieser Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras:
Diagramm zum Beweis
Veranschaulichung des Beweisgangs mittels Scherung
Mit Hilfe der Kongruenzsätze für Dreiecke muss man noch beweisen, dass die neue Höhe q tatsächlich dem Hypotenusenabschnitt entspricht. Darauf wird hier verzichtet.Geometrischer Beweis
(Algebraischer) Beweis mit dem Satz des Pythagoras
Außerdem gilt:
Das Quadrat ist also:
Nach der binomischen Formel ist dies
Setzt man dies für c² in die erste Formel ein und ersetzt mit der zweiten und dritten Formel a² und b², so erhält man:
und damit
nach Division von 2 folgt der zu beweisende Höhensatz:Scherungsbeweis
Schert man ein Rechteck zu einem Parallelogramm, so bleibt die Fläche erhalten. Damit lässt sich der Höhensatz auch beweisen. Die Animation veranschaulicht den Beweis: