Gesetz der großen Zahlen
Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis (Erwartungswert) annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird.
Table of contents |
2 Praktische Bedeutung 3 schwaches Gesetz der großen Zahlen 4 starkes Gesetz der großen Zahlen |
Anzahl Würfe | davon Kopf | Verhältnis | absoluter Abstand | ||
---|---|---|---|---|---|
theoretisch | beobachtet | theoretisch | beobachtet | ||
100 | 50 | 48 | 0.500 | 0.480 | 2 |
1000 | 500 | 491 | 0.500 | 0.491 | 9 |
10000 | 5000 | 4970 | 0.500 | 0.497 | 30 |
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim Werfen Kopf zeigt, beträgt ½. Je häufiger die Münze geworfen wird, desto näher wird der Anteil der Würfe, bei denen Kopf erscheint, beim theoretischen Wert ½ liegen. Trotzdem kann der absolute Abstand zwischen dem theoretischen und dem tatsächlich beobachteten Ergebnis immer weiter anwachsen. Man kann also aus dem Gesetz der großen Zahlen nicht die Schlussfolgerung ziehen, wenn ein Ereignis bislang nicht so häufig eintrat wie erwartet, muss es diesen Rückstand ausgleichen und folglich in Zukunft häufiger vorkommen.
Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt, dass für eine unendliche Folge von Zufallsvariablen
X1, X2, X3, ... , die alle den selben Erwartungswert μ
und die selbe endliche Varianz σ2 haben sowie unkorreliert sind
(d.h., der Korrelationskoeffizient zwischen zwei beliebigen Xi, Xj ist Null), die repräsentative Stichprobe
Die formale Definition lautet: Für jede positive Zahl ε (beliebig klein) gilt
Praktische Bedeutung
Das Gesetz der großen Zahl kann aber nichts darüber aussagen, wer im einzelnen von einem Schaden getroffen wird. Unvorhersehbare Großereignisse und Trends wie der Klimawandel, die die Berechnungsbasis von Durchschnittswerten verändern, können das Gesetz zumindest teilweise unbrauchbar machen.
schwaches Gesetz der großen Zahlen
stochastisch gegen μ konvergiert.
Die Tschebyscheff-Ungleichung wird zum Beweis dieses Satzes verwendet.
Das starke Gesetz der großen Zahlen besagt, dass für eine unendliche Folge von Zufallsvariablen
X1, X2, X3, ... , die unabhängig und identisch verteilt sind sowie
den selben Erwartungswert μ haben, gilt:
starkes Gesetz der großen Zahlen
d.h. die repräsentative Stichprobe konvergiert fast sicher gegen μ.