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Fourier-Transformation



Die Fourier-Transformation ist eine Integraltransformation, die eine Funktion in Sinus- und Kosinus-Bestandteile (Basisfunktionen) zerlegt, das heißt in eine Summe von Sinus- oder Kosinusfunktionen verschiedener Frequenz, Phase und Amplitude.

Der Begriff Fourier-Transformation umfasst allgemein eine Reihe sehr ähnlicher Transformationen, auf die weiter unten eingegangen wird. Sehr oft wird er aber auch speziell für die kontinuierliche Fourier-Transformation verwendet.

Die Fourier-Transformation ist von außerordentlicher praktischer Bedeutung in vielen Wissenschaften, Anwendungen reichen von der Physik (Akustik, Optik) über viele Teilgebiete der Mathematik (Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie), die Signalverarbeitung und Kryptographie bis zu Ozeanographie und Wirtschaftswissenschaften. Je nach Anwendungszweig erfährt die Zerlegung vielerlei Interpretationen. In der Akustik ist sie beispielsweise eine Frequenz-Transformation eines Tons in Oberschwingungen.

Die Fourier-Transformation wurde von dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier 1822 in seiner Théorie analytique de la chaleur entwickelt.

Table of contents
1 Kurz und bündig
2 Varianten der Fourier-Transformation
3 Mathematische Herleitung
4 Verallgemeinerung

Kurz und bündig

Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist definiert durch

Die Definition ist in der Literatur leider nicht einheitlich. Häufig findet man das Integral auch nur mit dem Vorfaktor oder gänzlich ohne. Die Rücktransformation (Fouriersynthese) lautet analog dazu:

Varianten der Fourier-Transformation

Die verschieden Begriffe in diesem Zusammenhang werden leider in der Literatur nicht einheitlich gebraucht und es existieren mehrere Namen für den gleichen Vorgang. So nutzt man Fourier-Transformation sehr oft als Synonym der kontinuierlichen Fourier-Transformation, und Fourier-Analyse meint oft die Zerlegung in eine Fourier-Reihe, manchmal aber auch die kontinuierliche Transformation.

Je nach den Eigenschaften der zu untersuchenden Funktion gibt es im wesentlichen drei Varianten (aufgrund der oben genannten Unschärfe der Begriffe erhebt die Liste keinen Anspruch auf vollständige Richtigkeit):

  1. Eine in einem endlichen Intervall periodische Funktion kann in eine Fourier-Reihe zerlegt werden.
  2. Ein Vorgang, der unperiodisch bis ins Unendliche reicht, erfordert die kontinuierliche Fourier-Transformation (auch Fourier-Integral).
  3. Sind von einem (unperiodischen) Vorgang nur diskrete Werte für ein endliches Intervall bekannt, wird die diskrete Fourier-Transformation angewendet. Ein Beispiel ist ein digitalisiertes Musikstück auf einer CD, auf der pro Sekunde 44100 diskrete Messwerte gespeichert sind.

Man erhält bei allen Transformationen ein Frequenzspektrum, das je nach Variante diskret (unendlich scharfe Linien) oder kontinuierlich ist:

Variante Definitionsmenge von f Periodizität von f Frequenzspektrum
Fourier-Reihe kontinuierliches Intervall periodisch diskret
Kontinuierliche Fourier-Transformation kontinuierlich aperiodisch kontinuierlich
Diskrete Fourier-Transformation diskret, endlich periodisch diskret, endlich

Zur Berechnung der diskreten Fouriertransformation wird oft die Fast-Fourier-Transformation (FFT) verwendet, ein Algorithmus bei dem die Anzahl der Rechenschritte zur Berechnung der Fourierkoeffizienten wesentlich kleiner ist als bei einer direkten Implementation der Integration.

Wegen der Bedeutung der Fouriertransformation in der Signalverarbeitung sind Signalprozessoren besonders gut angepasst an die Berechnung der Fouriertransformation.

Mathematische Herleitung

Mathematische Grundlagen

Gegeben sei zunächst eine beliebige zeitabhängige Funktion bzw. ein beliebiger Vorgang f(t), der sich nach einer Zeit T wiederholt, also periodisch ist. Fourier konnte in seiner Arbeit zeigen, dass sich f aus harmonischen Schwingungen , also Sinus- oder Kosinusfunktionen verschiedener Phase und Amplitude und genau definierter Frequenz (siehe unten) zusammensetzen lässt, also

f wird in eine Reihe zerlegt; an und φn sind dabei Folgen, und für die Kreisfrequenz gilt .

Die Schwingungen haben die Kreisfrequenz nω, also die Frequenz nω/2π. Damit hat die erste Schwingung (Grundschwingung) die Frequenz 1/T, die nächsten 2/T, 3/T, ...

Weil ein Sinus nur ein phasenverschobener Kosinus ist, treten in der Reihendarstellung nur Kosinus-Funktionen auf, die Phase ist ja noch offen. Als nächster Schritt soll die Reihe aber komplex geschrieben werden. Es sind dann komplexe Argumente erlaubt, und die Reihe wird komplexwertig. Sofern reelle Funktionen betrachtet werden, kann ja wieder der Realteil des Ergebnisses genommen werden. Aus der Euler-Formel folgt ja

und damit

Im letzten Schritt wurde die Phasenverschiebung in die nun komplexe Amplitude hineingezogen.

Fourier-Reihe

Bisher ist nur eine Reihe definiert - die Amplituden sind noch unbestimmt, und auch das Gleichheitszeichen zu f(t) ist noch nicht begründet.

Zur Bestimmung der Amplitudenfolge wird die obige Gleichung mit multipliziert und sodann auf beiden Seiten über dem Intervall [0,T], der Periode, integriert. Mit Umformungen erreicht man folgenden Aussage:

und für das n-te Integral auf der rechten Seite gilt:

Im letzten Schritt wurde die weiter oben eingeführte Beziehung genutzt.

Es sei k=m-n. Für den letzten Term gilt

es bleibt von der Reihe nur der Summand für n=m, für den nach der Regel von L'Hôpital gilt:

Glücklicherweise vereinfacht sich die Gleichung also entscheidend, und man erhält für die gesuchte Amplitudenfunktion

womit die Fourier-Reihe eindeutig bestimmt ist.

Konvergenz der Fourier-Reihe

Eine so definierte Reihe ist sicher schön, aber nutzlos, wenn sie nicht gegen die ursprüngliche Funktion konvergiert. Tatsächlich konvergiert sie für sehr viele Funktionen, unter anderem konvergieren alle differenzierbaren Funktionen oder alle quadratintegrierbaren Funktionen. Damit sei im Rahmen dieses Artikels das Gleichheitszeichen ganz am Anfang gerechtfertigt.

Wir können also zusammenfassen:

Aperiodische Vorgänge

Voraussetzung für die hergeleitete Fourier-Reihe ist die Periodizität von f(t) über dem Zeitintervall T. Selbstverständlich gibt es auch Funktionen, die bis ins Unendliche nicht periodisch sind, d.h., für die T gegen Unendlich geht. Wie schon gezeigt haben die Oberschwingungen ja die Frequenz n/T für die n-te Oberschwingung. Die Differenz den n-ten Oberfrequenz von der vorherigen ist n/T - (n-1)/T = 1/T, d.h. die Oberfrequenzen haben den Abstand 1/T. Für T gegen Unendlich rücken sie infinitesimal eng zusammen - und eine Summe über solche kleinen Stück ist genau die Definition des Riemann-Integrals. Die Summe wird im Grenzfall zum Integral.

Das Fourier-Integral, die kontinuierliche Fourier-Transformation, ist also gegeben durch

mit

Aus der Folge an ist nun das kontinuierliche Spektrum a(ω) geworden. Man bezeichnet genau genommen die zweite Transformation als Fourier-Transformation, die erste, deren inverse, ist die Fourier-Synthese.

Die zweite Gleichung kann analog wie für die Reihe hergeleitet werden.

Verallgemeinerung

Als verallgemeinerte Fouriertransformation wird jede Zerlegung einer Funktion in ein System von Basisfunktionen bezeichnet. Dabei müssen die Basisfunktionen geeignet gewählt werden, so dass die Zerlegung eindeutig und umkehrbar ist: sie müssen ein vollständiges Orthonormalsystem im betrachteten Funktionenraum bilden.

Die Fouriertransformation wird vor allem eingesetzt, um mit Differentialgleichungen einfacher zu rechnen.

siehe auch: Laplace-Transformation, Faltung




     
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