Fermat-Zahl
Eine Fermat-Zahl, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, ist eine natürliche Zahl der Form Fn:=22n+1 (2^(2^n)+1), wobei n eine nichtnegative ganze Zahl ist.Eine Fermatsche Primzahl ist eine Fermat-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist.
Fermat kannte die ersten fünf Fermatzahlen
- F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537,
Table of contents |
2 Eigenschaften 3 Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen 4 Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen 5 Internationale Suche 6 Weblinks |
n | Fn | Wer |
5 | 641 * 6700417 | Euler (1732) |
6 | 274177*67280421310721 | Landry & Le Lasseur (1880) |
7 | 59649589127497217*5704689200685129054721 | Morrison & Brillhart (1970) |
Ab F8
n | Wer |
8 | Brent & Pollard (1980) |
9 | Western (1903), Lenstra & Lenstra & Manasse & Pollard (1990) |
10 | Selfridge (1953), Brillhart (1962), Brent (1995) |
11 | Cunningham (1899), Brent & Morain (1988) |
12 | Pervouchine & Lucas (1877), Western (1903), Hallyburton & Brillhart (1974) |
13 | Hallyburton & Brillhart (1974), Crandall (1991) |
14 | Selfridge and Hurwitz (1964) |
15 | Kraitchik (1925), Gostin (1987), Suyanama (1989) |
Von den Zahlen F12 bis F32, sowie von etlichen größeren Fermat-Zahlen ist bekannt, dass sie zusammengesetzt sind. Von einigen sind auch schon ein paar Faktoren bekannt. Insgesamt weiß man von 217 Fermat-Zahlen, dass sie zusammengesetzt sind.
Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen, dass sie zusammengesetzt ist, benutzt man in der Regel den Pepin-Test und den Suyama-Test, die beide besonders auf diese Zahl zugeschnitten und sehr schnell sind.
Eigenschaften
Fn = F0F1...Fn-1 + 2
Aus den letzten beiden Aussagen folgt übrigens, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe auch Goldbachs Beweis).
Carl Friedrich Gauß zeigte (Erstveröffentlichung von Wantzel im Jahre 1836), dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion von regelmäßigen Vielecken und den Fermatschen Primzahlen gibt: Ein regelmäßiges Vieleck mit n Seiten kann nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn n eine Potenz von 2 oder das Produkt einer Potenz von 2 und verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.
Beispiel: b=4, n=1 ergibt die Primzahl 17.
Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen
Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen
Statt der Basis 2 kann man auch eine andere Basis wählen. Eine Zahl der Form Fn=b2n+1, mit einer natürlichen Zahl b heißt Verallgemeinerte Fermatsche Zahl. Ist eine solche Zahl auch noch prim, dann heißt sie Verallgemeinerte Fermatsche Primzahl.Internationale Suche
Es existiert ein internationales Projekt Generalized Fermat Prime Search, welches große Fermatsche und große verallgemeinerte Fermatsche Primzahlen sucht. Jeder kann sich daran beteiligen.Weblinks