Eulersche Differentialgleichung
Die Eulersche Differentialgleichung (nach Leonard Euler) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung beliebiger Ordnung der Form
Hier ist die k-te Ableitung von ; , und sind bekannt, wird gesucht. Wie bei allen linearen Differentialgleichungen kann man zuerst die homogene Gleichung mit s(x) = 0 allgemein lösen, die allgemeine Lösung ist dann (allgemeine Lösung der homogenen Lösung) + (eine spezielle (partikuläre) Lösung der inhomogenen Gleichung).
Bei der Lösung der homogenen Gleichung führt der Ansatz zu einer algebraischen Gleichung in . Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet dann
wobei die beliebige Konstanten und die die Lösungen der algebraischen Gleichung sind. Treten beim Lösen der algebraischen Gleichung Mehrfachlösungen auf, so muss man zusätzliche logarithmische Terme einführen:
Hier ist M die Anzahl der verschiedenen Lösungen der algebraischen Gleichung für , die Vielfachheit der Lösung der algebraischen Gleichung, und sind beliebige Konstanten.
Ein alternativer Lösungsweg ist die Transformation auf eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten: