Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2
Euklid führte den Beweis dafür, dass die Quadratwurzel von 2 eine irrationale Zahl ist.Das Weltbild der Pythagoräer, die die Zahl als das Maß aller Dinge betrachteten, war durch die Entdeckung der Irrationalität in Frage gestellt.
Dieser Beweis wird durch Widerspruch geführt und besticht durch seine Kürze:
Wir nehmen an, dass eine rationale Zahl sei, das bedeutet , wobei p und q natürliche Zahlen sind. Zusätzlich nehmen wir an, dass p und q teilerfremd sind (das ist legitim, da sich jeder nicht teilerfremde Bruch kürzen lässt, so dass ein teilerfremdes Zähler-Nenner-Paar entsteht).
Durch Quadrieren beider Gleichungsseiten entsteht:
Dies lässt sich umformen zu:
Also ist eine durch 2 teilbare (gerade) Zahl.
Nun enthält aber jede Quadratzahl alle Primfaktoren (mindestens) zwei mal, also ist jede gerade Quadratzahl durch 4 teilbar.
Wenn also durch 4 teilbar ist, muss auch durch 4 teilbar sein, also muss ebenfalls gerade sein.
Daraus folgt, dass sowohl p als auch q gerade Zahlen sein müssen.
Da dies im Widerspruch zur Annahme steht, p und q seien teilerfremd, kann die Grundannahme nicht zutreffen.
Also ist kein Bruch und damit keine rationale Zahl. Da nach dem Satz des Pythagoras die Länge der Diagonale eines Quadrats der Kantenlänge 1 ist, kann man deren Existenz nicht abstreiten, es muss also irrationale Zahlen geben.