Euklidischer Ring
Euklidischer Ring ist ein Fachbegriff aus der Mathematik.Ein kommutativer, nullteilerfreier Ring (Integritätsbereich) heißt euklidischer Ring, falls eine Abbildung existiert, so dass es für zwei Elemente mit Elemente gibt mit , wobei entweder oder ist. Die Abbildung heißt dabei euklidische Normfunktion (euklidischer Betrag).
Vereinfacht gesagt ermöglicht ein euklidischer Ring also eine Division mit Rest und dadurch einen euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Ringelemente. Von dieser Eigenschaft ist der Name abgeleitet.
Die obenstehende Definition ist äquivalent zur folgenden Definition, die ebenfalls häufig verwendet wird:
Definition2:
Ein Integritätsbereich R heißt euklidischer Ring, falls eine Abbildung existiert, so dass gilt und für alle , Elemente existieren, so dass gilt und ist.
Es lässt sich zeigen, dass jeder euklidische Ring eine minimale euklidische Norm besitzt, weiter existiert ein Algorithmus zur iterativen Bestimmung des minimalen euklidischen Betrages in einem euklidischen Ring; das Finden einer geschlossenen Form für den minimalen euklidischen Betrag ist jedoch im allgemeinen sehr aufwändig.
Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring. Beweisidee: Ist a ein Element des Ideals I mit minimaler euklidischer Norm, dann ist I = (a) ein Hauptideal.
Beispiele