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Erzeugnis (Raum)



Das Erzeugnis eines mathematischen Raumes, also einer Menge mit einer Struktur, beschreibt die strukturverträgliche Konstruktion einer Teilmenge dieses Raumes aus einer weiteren, erzeugenden Teilmenge des Raumes. Die erzeugende Menge wird manchmal Erzeugendensystem genannt. Die erzeugte Teilmenge nennt man das Erzeugnis der vorgegebenen Menge bzw. des Erzeugendensystems in dem betrachteten Raum.

Mit der Strukturverträglichkeit ist gemeint, dass die Axiome die für den Raum mit seiner Struktur gelten, auch für eine Teilmenge mit der entsprechend eingeschränkten Struktur gelten. Eine solche Teilmenge nennt man dann auch einen Unterraum.

Beispiele für Erzeugnisse sind

Der Artikel Hierarchie mathematischer Strukturen gibt einen guten Überblick über weitere Räume in denen eine Erzeugnisbildung betrachtet werden kann.

Table of contents
1 Konstruktionsverfahren
2 Definitionen

Konstruktionsverfahren

Man betrachtet oft zwei unterschiedliche, bei sinnvoller Definition aber äquivalente, Konstruktionsverfahren, die so genannte Konstruktion von oben und von unten.

Bei der Konstruktion von oben betrachtet man den Schnitt aller Unterräume, welche das Erzeugendensystem umfassen. Da das Erzeugendensystem Teilmenge des betrachteten Raumes ist, ist stets der Raum selbst ein Unterraum, welcher das Erzeugendensystem umfasst. Das ist wichtig, damit die Definition sinnvoll ist, da der Schnitt über eine leere Menge selbst keine Menge ist.

Bei der Konstruktion von unten betrachtet man die Menge der möglichen Strukturkombinationen mit Elementen aus dem Erzeugendensystem. Beim Vektorraum etwa die Menge der Linearkombinationen mit Elementen des Erzeugendensystems.

Definitionen

Das topologische Erzeugnis

Satz und Definition (Das topologische Erzeugnis)

Sei eine Menge und . Dann ist

eine Topologie auf und heißt das topologische Erzeugnis von auf .

Satz (Beschreibung "von unten")

Sei eine Menge und . Setze

Dann ist:

Bedeutung in Worten

ist die kleinste (feinste) Topologie, so dass alle Elemente von  offen sind.

Alle Elemente von lassen sich als Vereinigung von endlichen Schnitten über darstellen.




     
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