Erwartungswert<meta http-equiv="Content-type" content="text/html; charset=utf-8"> <link rel="shortcut icon" href="../../favicon.ico"><link rel="stylesheet" href="../../wikistatic.css"></head> <body><div id=topbar><table width='98%' border=0><tr><td><a href="../../h/ha/hauptseite.html" title="Hauptseite">Hauptseite</a> | <b><a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert" title="Erwartungswert">Aktueller Wikipedia-Artikel</a></b></td> <td align=right nowrap><form name=search class=inline method=get action="../../../search/search.html"><input name=search size=19><input type=submit value=Search></form></td></tr></table></div> <div id=article><h1>Erwartungswert</h1>In der <A HREF="../../w/wa/wahrscheinlichkeitstheorie.html" title="Wahrscheinlichkeitstheorie">Wahrscheinlichkeitsrechnung</A> ist der <strong>Erwartungswert</strong> einer <A HREF="../../z/zu/zufallsvariable.html" title="Zufallsvariable">Zufallsvariable</A> jener Wert, von dem man sich "erwartet", dass er sich bei einer oftmaligen Wiederholung des <A HREF="../../z/zu/zufallsexperiment.html" title="Zufallsexperiment">Experiments</A> <A HREF="../../m/mi/mittelwert.html" title="Mittelwert">durchschnittlich</A> ergibt. Er errechnet sich als die <A HREF="../../s/su/summe.html" title="Summe">Summe</A> der <A HREF="../../w/wa/wahrscheinlichkeit.html" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</A> jedes möglichen Ergebnisses des Experiments <A HREF="../../m/mu/multiplikation.html" title="Multiplikation">multipliziert</A> mit dem "Wert" dieses Ergebnisses. Der Erwartungswert kann allerdings bei einem einzelnen Experiment unwahrscheinlich oder sogar unmöglich sein.<p> <p><table border="0" id="toc"><tr><td align="center"> <b>Table of contents</b> <script type='text/javascript'>showTocToggle("show","hide")</script></td></tr><tr id='tocinside'><td align="left"> <div style="margin-left:2em;"> </div> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Definition">1 Definition</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Beispiel">2 Beispiel</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Rechenregeln">3 Rechenregeln</A><BR> <div style="margin-left:2em;"> <A CLASS="internal" HREF="#Erwartungswert der Summen von n Zufallsvariablen">3.1 Erwartungswert der Summen von n Zufallsvariablen</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Lineare Transformation kX + d">3.2 Lineare Transformation kX + d</A><BR> <A CLASS="internal" HREF="#Erwartungswert des Produkts von 2 stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen X und Y">3.3 Erwartungswert des Produkts von 2 stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen X und Y</A><BR> </div> <A CLASS="internal" HREF="#Siehe auch">4 Siehe auch</A><BR> </td></tr></table><P> <A NAME="Definition"><H2>Definition</H2> Wenn die Zufallvariable <em>X</em> <A HREF="../../d/di/diskrete_zufallsvariable.html" title="Diskrete Zufallsvariable">diskret</A> ist und die Werte <em>x</em><sub>1</sub>, <em>x</em><sub>2</sub>, ... mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten <em>p</em><sub>1</sub>, <em>p</em><sub>2</sub>, ... annehmen kann, errechnet sich der Erwartungswert <em>E(X)</em> als: <dl><dd><p> </dd></dl>Er ist das erste <A HREF="../../m/mo/moment__statistik_.html" title="Moment (Statistik)">Moment</A> um Null.<p> Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist der Erwartungswert über das <A HREF="../../i/in/integralrechnung.html" title="Integralrechnung">Integral</A> bestimmt. Hat die Zufallsvariable <em>X</em> eine <A HREF="../../w/wa/wahrscheinlichkeitsverteilung.html" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung">Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion</A> <em>f</em>(<em>x</em>), so ist der Erwartungswert <dl><dd><p> </dd></dl>Die Erwartungswerte der Potenzen einer Zufallsvariable nennt man <A HREF="../../m/mo/moment__statistik_.html" title="Moment (Statistik)">Moment</A> der Ordnung .<p> <A NAME="Beispiel"><H2>Beispiel</H2><p> Das Experiment sei das Würfeln mit einem Würfel. Die Zufallsvariable X ist die gewürfelte Augenzahl. Die Wahrscheinlichkeiten p<sub>i</sub>, eine der Zahlen 1, ..., 6 zu würfeln, sind jeweils 1/6. <p> <dl><dd><p> </dd></dl>Wann man also 1000 Mal würfelt, die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5. Bei einem einzigen Wurf wird man aber nie 3,5 erhalten.<p> <A NAME="Rechenregeln"><H2>Rechenregeln</H2><p> <A NAME="Erwartungswert der Summen von n Zufallsvariablen"><H3>Erwartungswert der Summen von n Zufallsvariablen</H3><p> <dl><dd><p> </dd></dl><A NAME="Lineare Transformation kX + d"><H3><A HREF="../../a/af/affine_abbildung.html" title="Affine Abbildung">Lineare Transformation</A> kX + d</H3><p> <dl><dd><p> </dd></dl>Insbesondere:<p> <dl><dd><p> </dd></dl><A NAME="Erwartungswert des Produkts von 2 stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen X und Y"><H3>Erwartungswert des Produkts von 2 stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen X und Y</H3><p> <dl><dd><p> </dd></dl><A NAME="Siehe auch"><H2>Siehe auch</H2> <ul><li><A HREF="../../g/ge/gesetz_der_groa_en_zahlen.html" title="Gesetz der großen Zahlen">Gesetz der großen Zahlen</A> </li><li><A HREF="../../p/pa/parameter__statistik_.html" title="Parameter (Statistik)">Parameter (Statistik)</A> </li><li><A HREF="../../m/mo/moment__statistik_.html" title="Moment (Statistik)">Moment (Statistik)</A><p> </li></ul><p></div><br><div id=footer><table border=0><tr><td> <small>Dies ist ein Artikel aus der freien Enzyklopädie <a href="http://de.wikipedia.org">Wikipedia</a>. Stand: August 2004. Der Artikel steht unter der <a href="http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt">GNU Free Documentation License</a>.</small></td></tr></table></div>