Erwartungswert
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable jener Wert, von dem man sich "erwartet", dass er sich bei einer oftmaligen Wiederholung des Experiments durchschnittlich ergibt. Er errechnet sich als die Summe der Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ergebnisses des Experiments multipliziert mit dem "Wert" dieses Ergebnisses. Der Erwartungswert kann allerdings bei einem einzelnen Experiment unwahrscheinlich oder sogar unmöglich sein.
Definition
Wenn die Zufallvariable X diskret ist und die Werte x1, x2, ... mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p1, p2, ... annehmen kann, errechnet sich der Erwartungswert E(X) als:
Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist der Erwartungswert über das Integral bestimmt. Hat die Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x), so ist der Erwartungswert
Das Experiment sei das Würfeln mit einem Würfel. Die Zufallsvariable X ist die gewürfelte Augenzahl. Die Wahrscheinlichkeiten pi, eine der Zahlen 1, ..., 6 zu würfeln, sind jeweils 1/6.
Beispiel
Wann man also 1000 Mal würfelt, die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5. Bei einem einzigen Wurf wird man aber nie 3,5 erhalten.Rechenregeln
Erwartungswert der Summen von n Zufallsvariablen
Lineare Transformation kX + d
Insbesondere:Erwartungswert des Produkts von 2 stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen X und Y
Siehe auch